[논문 리뷰] Toric Geometry and the Semple-Nash modification

Pedro D. González Pérez, Bernard Teissier|arXiv (Cornell University)|2009. 12. 03.

Commutative Algebra and Its Applications참고 문헌 26인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 정규성을 가정하지 않고, 팬과 붙임 조건을 만족하는 반군을 사용하여 비정규성 없는 토릭 다양체의 조합론적 이론을 개발한다. 반복적인 Semple-Nash 수정(또는 그 특성에 무관한 해석인 로그 임계행렬 이상의 블로우업)이 토릭 다양체 위의 최대질량 단항가측값을 국소적으로 균일화함을 보이며, 히로나카의 해소를 특성에 무관한 정규화 과정으로 일반화한다.

ABSTRACT

This paper proposes some material towards a theory of general toric varieties without the assumption of normality. Their combinatorial description involves a fan to which is attached a set of semigroups subjected to gluing-up conditions. In particular it contains a combinatorial construction of the blowing up of a sheaf of monomial ideals on a toric variety. In the second part it is shown that over an algebraically closed base field of zero characteristic the Semple-Nash modification of a general toric variety is isomorphic to the blowing up of the sheaf of logarithmic jacobian ideals and that in any characteristic this blowing-up is an isomorphism if and only if the toric variety is non singular. In the second part we prove that orders on the lattice of monomials (toric valuations) of maximal rank are uniformized by iterated Sempla-Nash modifications.

연구 동기 및 목표

• 팬과 이중뿔 내의 붙임 조건을 만족하는 반군의 조합론적 자료를 사용하여 정규성을 가정하지 않은 토릭 다양체로 토릭 기하학을 확장한다.
• 토릭 다양체 위의 단항이deals의 블로우업을 조합론적으로 기술한다.
• 로그 임계행렬 이상의 반복 블로우업이 토릭 다양체 위의 최대질량 단항가측값을 해소함을 보인다.
• Semple-Nash 수정의 특성에 무관한 해석을 정규화 과정으로서의 정규화 과정으로 설정한다.
• Semple-Nash 과정이 고전적 특성의 해소와 Zariski-Riemann 공간과 어떻게 관련되어 있는지 밝힌다.

제안 방법

• 이중뿔 내의 반군 집합과 팬을 사용하여 추상적 토릭 다양체를 정의하고, 붙임 조건을 만족하도록 한다.
• 반군과 팬의 구조를 수정하여 단항이deals의 블로우업을 토릭 다양체로 구성한다.
• 비정규 설정에서 토러스 불변 카르티에 다발과 앰플리티드 및 매우 앰플리티드의 기준을 기술한다.
• 로그 임계행렬 이상을 특성에 무관한 Semple-Nash 수정의 해석으로 정의하기 위해 기본 이상으로 사용한다.
• 이 블로우업 과정을 반복하면 최대질량 단항가측값의 국소적 균일화가 이루어짐을 증명한다.
• 반군 위의 전순서 공간과 모든 토릭 블로우업의 역극한 사이에 위상동형을 설정한다. 이는 Zariski-Riemann 공간 구성의 일반화이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정규성을 가정하지 않고 팬과 반군을 사용하여 토릭 다양체를 조합론적으로 기술할 수 있는가?
• RQ2 비정규 토릭 설정에서 단항이deals의 블로우업을 어떻게 조합론적으로 기술할 수 있는가?
• RQ3 로그 임계행렬 이상의 반복 블로우업이 토릭 다양체 위의 어떤 최대질량 단항가측값도 해소하는가?
• RQ4 특성 0에서 Semple-Nash 수정이 이 블로우업 과정과 동치인가?
• RQ5 이 틀 안에서 반군의 전순서 공간이 모든 토릭 블로우업의 역극한으로서 실현될 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 이중뿔 내의 붙임 조건을 만족하는 반군과 팬을 사용하여 비정규 토릭 다양체의 조합론적 이론을 구축한다.
• 비정규 케이스에서 토러스 불변 카르티에 다발과 앰플리티드 및 매우 앰플리티드의 완전한 조합론적 기술을 제공한다.
• 로그 임계행렬 이상의 반복 블로우업은 토릭 다양체 위의 어떤 최대질량 단항가측값이라도 국소적으로 균일화한다.
• 특성 0에서 이 블로우업 과정은 Semple-Nash 수정과 위상동형이다.
• 토릭 다양체의 반군 위의 전순서 공간은 모든 토릭 블로우업의 역극한과 위상동형이며, 이는 Zariski-Riemann 공간의 일반화이다.
• 이 구성은 토릭 다양체 위의 최대질량 단항가측값에 대한 정규화 과정을 정의하며, 특성에 무관한 정규화 과정을 보장한다.