[논문 리뷰] Toric Varieties vs. Horofunction Compactifications of Polyhedral Norms

Lizhen Ji, Anna-Sofie Schilling|arXiv (Cornell University)|2017. 05. 22.

Algebraic Geometry and Number Theory인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 차원 $n$인 사영 토릭 다양체와 유리 다면체 노름을 갖춘 $\r^n$의 호로펑 컴actification 사이에 표준적이고 기하학적인 1대1 대응을 수립한다. 토릭 다양체의 음이 아닌 부분과 그의 모멘트 맵의 상은 모두 호로펑 컴actification과 위상동형이며, 이는 노름의 단위 구의 폴라르 다면체로 실현된다.

ABSTRACT

We establish a natural and geometric 1-1 correspondence between projective toric varieties of dimension $n$ and horofunction compactifications of $\mathbb{R}^n$ with respect to rational polyhedral norms. For this purpose, we explain a topological model of toric varieties. Consequently, toric varieties in algebraic geometry, normed spaces in convex analysis, and horofunction compactifications in metric geometry are directly and explicitly related.

연구 동기 및 목표

• 사영 토릭 다양체와 유리 다면체 노름을 갖춘 $\r^n$의 호로펑 컴actification 사이의 직접적이고 기하학적인 대응을 수립하기 위해.
• 토릭 다양체의 음이 아닌 부분과 그의 모멘트 맵의 상이 다면체 노름에 대해 $\r^n$의 호로펑 컴actification과 위상동형임을 보여주기 위해.
• 이 대응이 표준적이며, 유리 다면체 노름의 단위 구와 관련된 팬 구성에서 유래됨을 보여주기 위해.
• 단위 구의 폴라르 다면체를 통해 호로펑 컴actification의 유계 모델을 제공하기 위해.
• 다양한 노름 유도 체적(부세만,홀름즈-탬슨,그로모프,벤슨)에 따른 단위 구의 체적을 통해 토릭 다양체의 수치적 불변량을 탐색하기 위해.

제안 방법

• 원점 내부를 포함하는 $\r^n$ 내의 유리 볼록 다면체 $P$로부터, $P$의 면들 위에 원뿔을 취해 팬 $Σ_P$를 구성한다.
• $Σ_P$에 대해 사영 토릭 다양체 $X_{Σ_P}$를 부여하며, 이는 $P$의 스케일링에 대해 잘 정의된다.
• $P$가 단위 구가 되는 다면체 노름 $|·|_P$를 $\r^n$에 정의하고, 이로부터 $\r^n$에 거리 $d_P$를 유도한다.
• $d_P$에 대해 $\r^n$의 호로펑 컴actification $¯{\r^n}^{hor}$를 사용하며, 이는 음이 아닌 부분 $X_{Σ_P,\geq 0}$과 모멘트 맵의 상과 위상동형임을 보여준다.
• $P$의 폴라르 다면체 $P^\circ$를 이용해 호로펑 컴actification을 $P^\circ$로 실현함으로써, 이를 유계 모델로 제공한다.
• 다면체 $P^\circ$의 면 $E$에 대해 $h_{E,\mathbf{x}_\infty}(\mathbf{z}) = |\mathbf{p} - \mathbf{y}|_E - |\mathbf{p}|_E$ 형태의 호로펑션을 사용하며, 여기서 $|\cdot|_E$는 $E$로부터 유도된 준노름이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 사영 토릭 다양체와 유리 다면체 노름을 갖춘 $\r^n$의 호로펑 컴actification 사이에 표준적인 기하학적 대응이 존재하는가?
• RQ2 토릭 다양체의 음이 아닌 부분과 그의 모멘트 맵의 상은 다면체 노름에 대해 $\r^n$의 호로펑 컴actification과 일치하는가?
• RQ3 $\r^n$의 유리 다면체 노름에 대해 호로펑 컴actification이 단위 구의 폴라르 다면체와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ4 노름에 의해 유도된 체적 형태(부세만,홀름즈-탬슨,그로모프,벤슨)에 따른 단위 구의 체적으로부터 토릭 다양체의 어떤 수치적 불변량을 도출할 수 있는가?
• RQ5 다면체 $P$의 내부에서의 힐베르트 거리의 호로펑 컴actification과 폴라르 다면체 $P^\circ$에 관련된 토릭 다양체 사이에 연결 고리가 존재하는가?

주요 결과

• 차원 $n$인 사영 토릭 다양체와 유리 다면체 노름 사이에는 스케일링에 대해 정의된 표준적이고 기하학적인 1대1 대응이 존재한다.
• $X_{Σ}$의 음이 아닌 부분 $X_{Σ,\geq 0}$은 해당 유리 다면체 노름에 의해 유도된 거리에 대해 $\r^n$의 호로펑 컴actification $¯{\r^n}^{hor}$와 위상동형이다.
• $X_{Σ}$의 모멘트 맵의 상 역시 동일한 노름에 대해 호로펑 컴actification $¯{\r^n}^{hor}$와 위상동형이다.
• 유리 다면체 노름 $|·|_P$에 대해 $\r^n$의 호로펑 컴actification은 단위 구 $P$의 폴라르 다면체 $P^\circ$와 위상동형이다.
• 각 사영 토릭 다양체 $X$에 대해, 그에 관련된 정규화된 단위 구 $P$의 체적은 네 가지 표준 체적(부세만,홀름즈-탬슨,그로모프,벤슨) 중 어느 것으로 측정하든 표준적인 수치적 불변량을 제공한다.
• 호로펑 컴actification은 함수 $d_P(\mathbf{z}, \mathbf{x}_j) - d_P(0, \mathbf{x}_j)$의 점별 극한으로 실현되며, 이는 $P^\circ$의 면 $E$에 대해 $h_{E,\mathbf{x}_\infty}(\mathbf{z})$로 수렴하며, 컴act 부분집합에서 균일 수렴한다.