[논문 리뷰] Tornheim-like series, harmonic numbers and zeta values

Ilham A. Aliev, Ayhan Dil|arXiv (Cornell University)|2020. 08. 06.

Advanced Mathematical Identities참고 문헌 14인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 적분 표현과 생성함수를 사용하여 조화수와 리만 제타값을 포함하는 Tornheim 유사 이중 및 다중 급수의 명시적 평가를 제공한다. $\sum_{n,m=1}^\infty \frac{H_{n+m+s}}{nm(n+m+s)}$ 급수는 $s \geq 1$일 때 유리수이고 $s = 0$일 때는 무리수이며, 제타값을 이용한 닫힌 형태를 갖는다. 또한 $\zeta(2)$와 $\zeta(3)$를 포함하는 관련 급수도 평가한다.

ABSTRACT

Explicit evaluations of the Tornheim-like double series in the form \[ \sum_{n,m=1}^\infty \frac{H_{n+m+s}}{nm\left( n+m+s ight)},\ s\in \mathbb{N\cup } \left\{ 0 ight\} \] and their extensions are given. Furthermore, series of the type \[ \sum_{m=1}^\infty \frac{2H_{2m+1}-H_{m}}{2m\left( 2m+1 ight)} \] and some other Tornheim-like multiple series are evaluated in terms of the zeta values.

연구 동기 및 목표

• 정수 매개변수를 갖는 Tornheim 유사 급수의 유리성 또는 무리성을 규명하는 것.
• 제타 함수를 이용하여 $\sum \frac{H_{n+m+s}}{nm(n+m+s)}$ 형태의 이중 및 다중 급수에 대한 명시적 닫힌 형태 평가를 도출하는 것.
• 일반화된 조화수와 이동 매개변수를 포함하여 기존의 오일러 합과 Tornheim 급수 결과를 확장하는 것.
• $\zeta(2)$와 $\zeta(3)$를 포함하며 분모에 반정수 이동이 있는 특수 급수의 평가를 수행하는 것.

제안 방법

• 역수와 로그 함수의 적분 표현을 사용하여 이중 급수를 삼중 적분으로 변환하는 것.
• 조화수를 급수로 표현하기 위해 항등식 $\sum_{k=1}^{n+m+s} \frac{1}{k} = \sum_{k=1}^\infty \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+n+m+s} \right)$ 를 적용하는 것.
• 유리항을 단위구간에서의 적분으로 변환하기 위해 적분 공식 $\int_0^1 x^{k-1} dx = \frac{1}{k}$ 를 사용하는 것.
• 생성함수와 급수 전개, 예를 들어 $|xt| < 1$ 인 경우 $\sum_{n=1}^\infty (xt)^{n-1} = \frac{1}{1-xt}$ 를 활용하는 것.
• 로그적분을 단순화하기 위해 $u = \frac{1+\sqrt{t}}{1-\sqrt{t}}$ 를 대입하는 것.
• 적분과 제타값을 연결하기 위해 항등식 $\int_0^1 t^{j} \ln^3 t \, dt = -\frac{6}{(j+1)^4}$ 를 사용하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 매개변수 $s \in \mathbb{N} \cup \{0\}$ 일 때, Tornheim 유사 급수 $\sum_{n,m=1}^\infty \frac{H_{n+m+s}}{nm(n+m+s)}$ 는 유리수인가, 무리수인가?
• RQ2 이러한 급수에 대해 리만 제타값을 이용한 명시적 닫힌 형태 평가를 도출할 수 있는가?
• RQ3 분모에 반정수 이동이 있는 $\zeta(2)$와 $\zeta(3)$를 포함하는 급수의 정확한 값은 무엇인가?
• RQ4 일반화된 조화수와 이동 매개변수의 영향은 다중 Tornheim 유사 급수 평가에 어떻게 작용하는가?

주요 결과

• 급수 $A(s) = \sum_{n,m=1}^\infty \frac{H_{n+m+s}}{nm(n+m+s)}$ 는 $s \geq 1$일 때 유리수이고 $s = 0$일 때는 무리수이며, $A(0) = 6\zeta(4) = \frac{\pi^4}{16}$ 이다.
• $s \geq 1$일 때, $A(s) = 6 \sum_{j=0}^{s-1} (-1)^j \binom{s-1}{j} \frac{1}{(j+1)^4}$ 로 표현되며, 이는 역수 제곱의 유리식이다.
• 급수 $\sum_{m,n=0}^\infty \frac{1}{(2m+1)(2n+1)(2m+2n+1)(2m+2n+2)} = 16\zeta(2) - 14\zeta(3)$ 이다.
• 급수 $\sum_{m,n=0}^\infty \frac{1}{(2m+1)(2n+1)(2m+2n+3)} = \frac{1}{2}\zeta(2)$ 로 유도되며, 로그적분 항등식을 통해 도출된다.
• 삼중 급수 $\sum_{m,n=0}^\infty \frac{1}{(2m+1)(2n+1)(2m+2n+1)(2m+2n+2)(2m+2n+3)} = 24\zeta(2) - 28\zeta(3)$ 이다.
• 이 방법은 $\ln^3(1-t)$ 와 $\ln^2\left(\frac{1+t}{1-t}\right)$ 를 포함하는 적분으로 변환함으로써 반정수 이동이 있는 다수의 Tornheim 유사 급수를 성공적으로 평가한다.