[논문 리뷰] Toroidal Embeddings of Right Groups

Kolja Knauer, Ulrich Knauer|ArXiv.org|2009. 07. 30.

semigroups and automata theory참고 문헌 7인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 원형 그래프가 토러스 위에만 매장 가능하고 평면이 아닌 오른쪽 군의 성질을 기술한다. 특히 군 성분의 최소 생성 집합을 가진 경우에 초점을 맞춘다. 이는 그래프의 종수 이론과 카일리 그래프의 레이크소그래픽 곱 및 오른쪽 제로 반군과의 곱을 통한 구성 방법을 사용하여, 이러한 매장이 존재하는 것은 군 성분이 평면적일 때이고, 높은 종수를 유도하는 특정 구성이 피해야 할 조건이 만족될 때에만 가능하다는 것을 증명한다.

ABSTRACT

In this note we study embeddings of Cayley graphs of right groups on surfaces. We characterize those right groups which have a toroidal but no planar Cayley graph, such that the generating system of the right group has a minimal generating system of the group as a factor.

연구 동기 및 목표

• 오른쪽 군 중에서 카일리 그래프가 토러스 위에만 매장 가능하고 평면이 아닌 경우를 분류하는 것.
• 오른쪽 군의 카일리 그래프가 평면 위에는 매장되지 않지만 토러스 위에는 매장 가능한 조건을 규명하는 것.
• 군의 생성 집합이 카일리 그래프의 종수에 미치는 영향을 분석하는 것.
• 클리포드 반군에 대한 이전 연구를 더 넓은 오른쪽 군의 범주로 확장하는 것.
• 군 성분의 평면성과 생성 집합의 구조에 기반한 특성화를 제공하는 것.

제안 방법

• G는 군이고 R_r는 오른쪽 제로 반군일 때 오른쪽 군 G × R_r에 대한 카일리 그래프 구성 방법을 사용한다.
• Cay-함수를 적용하여 곱 반군의 그래프 구조를 구성 요소 그래프의 레이크소그래픽 곱과 교차 곱으로 연결한다.
• Euler-Poincaré 공식 n - m + f = 2 - 2g를 사용하여 매장된 그래프의 종수 한계를 계산한다.
• Kuratowski의 정리와 Chartrand–Harary의 정리를 적용하여 금지된 부분그래프를 통한 평면성 및 외부 평면성 테스트를 수행한다.
• Lemma 3.5를 사용하여 군 카일리 그래프의 최소 차수 3이고 3-정규일 경우 토러스 매장을 배제한다.
• 특수 예시인 Z_6 × R_2와 생성 집합 {2,3} × R_2를 분석하여, 이중 토러스 매장에 모순이 있음을 보여 genus 3임을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 오른쪽 군이 카일리 그래프가 토러스 위에만 매장 가능하고 평면이 아닌가?
• RQ2 오른쪽 군의 생성 집합에 어떤 조건이 있어야 그 카일리 그래프가 토러스 위에 매장 가능한가?
• RQ3 오른쪽 군의 카일리 그래프의 종수는 그 기저 군 성분의 종수와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 기저 군 성분이 평면적일 때, 레이크소그래픽 곱 구성 C Cay(S,C)[Cay(T,D)]가 토러스 매장을 유도할 수 있는가?
• RQ5 3-정규 평면 그래프와 R_2의 곱이 토러스 매장을 실패하는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• G ∈ {Z_2, Z_2 × D_n, A_4, S_4, A_5, Z_2 × A_4, Z_2 × S_4, Z_2 × A_5, Z_2 × Z_{2n}} (n ≥ 2) 인 오른쪽 군 G × R_2는 어떤 생성 집합에도 대해 토러스 카일리 그래프를 가질 수 없다.
• Cay(Z_6 × R_2, {2,3} × R_2)의 카일리 그래프는 종수 3이며, 이중 토러스 매장에 모순이 있음을 보여 토러스 위에 매장될 수 없다.
• 그래프 Cay(Z_6 × R_2, {2,3} × R_2) ≅ (C_3 □ K_2)[K̄_2] 는 6-정규이며 정점 수 12개, 간선 수 36개이고, 오일러 특성수와 면 분석을 통해 종수 3임이 증명된다.
• Z_2 × D_n에 대해 Lemma 3.5의 조건을 피하는 유일한 생성 집합은 C = {(1,g_1),(0,g_2)} 이며, 이 경우 토러스 카일리 그래프는 C_{4n} 와 동형이다.
• R_2와의 레이크소그래픽 곱 연산은 종수를 0에서 3으로 증가시킬 수 있으며, Z_6 × R_2의 예시에서 이를 입증하였다.
• 3-정규 평면 카일리 그래프의 군은 R_2와의 곱을 통해 토러스 카일리 그래프를 생성할 수 없으며, 오일러 공식의 차수 및 면 구조 제약 조건 때문이다.