[논문 리뷰] Torsion in the Coherent Cohomology of Shimura Varieties and Galois Representations

George Boxer|arXiv (Cornell University)|2015. 07. 21.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 25인용 수 28

한 줄 요약

이 논문은 PEL 유형의 슈리마 다양체의 특수 섹션에 대한 에케다-오르트 분해에 적응된 일반화된 하사 인버티언트를 사용하여, 코herent cohomology에서 헤케 고유클래스 간의 합동을 구축하는 방법을 개발한다. 주요 결과는 특정 코herent cohomology 군이 고중량(cohomology)으로부터 헤케--equivariant한 전사 사상을 갖는다는 것을 보여주며, 이는 모od p 모듈러 형식에서 토퍼션 Galois 표현을 구성할 수 있음을 가능하게 한다.

ABSTRACT

We introduce a method for producing congruences between Hecke eigenclasses, possibly torsion, in the coherent cohomology of automorphic vector bundles on certain good reduction Shimura varieties. The congruences are produced using some "generalized Hasse invariants" adapted to the Ekedahl-Oort stratification of the special fiber.

연구 동기 및 목표

• 특성 0으로의 업그레이드가 불가능한, mod p에서의 에테레얼 모듈러 형식(ethereal modular forms) 현상에 대응하기 위해 슈리마 다양체의 코herent cohomology에서의 토퍼션을 연구한다.
• 자동형량 벡터 번들의 코herent cohomology에서 헤케 고유클래스 간의 합동을 생성하는 기하학적 방법을 개발한다. 이는 토퍼션 계열을 포함한다.
• 에케다-오르트 분해를 이용하여, 산술적 컴팩티피케이션의 경계로 일반화된 하사 인버티언트를 확장하고, 고전적 하사 인버티언트를 비일반적 영역으로 확장한다.
• 고중량 코herent cohomology에서 저중량 코herent cohomology로의 헤케-equivariant한 전사 사상을 확립함으로써, 갈로아 표현의 이행을 가능하게 한다.
• 특히 1중량 형식과 토퍼션 현상의 맥락에서, 코herent cohomology의 토퍼션 계열에서 mod p 갈로아 표현을 구성하는 프레임워크를 제공한다.

제안 방법

• PEL 유형의 슈리마 다양체의 특수 섹션에 대한 에케다-오르트 분해에 적응된 일반화된 하사 인버티언트를 도입하여, 고전적 하사 인버티언트를 비일반적 영역으로 확장한다.
• 절단된 바르소티-테이트 군의 표준 필터링을 이용하여, 특히 파라호릭 수준의 구조에서 열린 에케다-오르트 분해 영역에서 일반화된 하사 인버티언트를 정의한다.
• 코트위츠-라포포르트 분해와 국소 모델을 적용하여, 토로이달 및 최소 컴팩티피케이션에서 경계의 구조를 분석한다.
• 고차수 직합 이미지의 정리와 결합하여, 자동형량 벡터 번들의 코homology로의 순차적 몫의 필터링을 구성함으로써 코herent cohomology에 필터링을 수립한다.
• 리프팅 보조정리와 귀납적 추론을 사용하여 하사 인버티언트를 경계로 확장하고, 헤케 작용과의 호환성을 확보한다.
• 제약 사상, 코homology의 소멸성, 그리고 헤케-안정적인 섹션의 작용을 조합하여, 고중량 코herent cohomology에서 저중량 코herent cohomology로의 헤케-equivariant한 전사 사상을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 산술적 컴팩티피케이션의 경계로 일반화된 하사 인버티언트를 구성하고 확장할 수 있는가?
• RQ2 에케다-오르트 분해는 특수 섹션을 조직하고 코herent cohomology에서의 합동을 가능하게 하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 코herent cohomology의 토퍼션 헤케 고유클래스는 mod p 갈로아 표현을 구성하는 데 사용될 수 있는가? 특히 1중량 모듈러 형식의 경우에 대해 어떻게 되는가?
• RQ4 자동형량 벡터 번들의 코homology 군은 헤케 작용 하에서 어떻게 행동하는가? 특히 토퍼션 존재 시에 어떻게 되는가?
• RQ5 최소 컴팩티피케이션과 토로이달 컴팩티피케이션의 코herent cohomology 간의 관계는 무엇이며, 이는 합동의 구성에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 논문은 고중량 자동형량 벡터 번들의 코herent cohomology에서 저중량 번들의 코homology로의 헤케-equivariant한 전사 사상을 구성하여, 헤케 고유클래스 간의 합동을 확립한다.
• 논문은 $ H^n( ilde{X}_n, (V_{ ho,K}^{ ext{sub}} imes ilde{ ho}^{ ext{sub}} imes ilde{ ho}^{ ext{sub}}) imes ilde{ ho}^{ ext{sub}}) $ 이 $ H^0( ilde{X}_n, (V_{ ho,K}^{ ext{sub}} imes ilde{ ho}^{ ext{sub}} imes ilde{ ho}^{ ext{sub}}) imes ilde{ ho}^{ ext{sub}}) $ 의 헤케-equivariant한 부분몫임을 증명하여, 합동의 존재를 확인한다.
• 일반화된 하사 인버티언트는 최소 컴팩티피케이션의 경계로까지 확장되며, 이는 경계 성분에서도 합동을 구성할 수 있음을 가능하게 한다.
• $ H^1( ilde{X}_n, V_{ ho',K}^{ ext{sub}} imes ilde{ ho}^{ ext{sub}} imes ilde{ ho}^{ ext{sub}}) $ 이 $ ilde{ ho}^{ ext{sub}} $ 모듈로에서 소멸한다는 것은 감소 사상의 전사성에 필수적이다.
• $ ilde{ ho}^{ ext{sub}} $ 의 헤케-안정적인 섹션 $ ilde{A}_n $ 이 구성되며, 이는 곱셈을 통한 헤케-equivariant한 단사 사상 유도를 가능하게 하여 고유계수의 이행을 가능하게 한다.
• 이 방법은 코herent cohomology의 토퍼션 계열이 갈로아 표현을 유도할 수 있음을 확인하며, 특히 mod p에서의 1중량 모듈러 형식의 맥락에서 에테레얼 형식 문제를 해결한다.