[논문 리뷰] Torsion points on curves and common divisors of a^k-1 and b^k-1

Nir Ailon, Zeév Rudnick|ArXiv.org|2002. 02. 12.

Algebraic Geometry and Number Theory인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 정수 및 다항식의 경우 $a^k - 1$ 과 $b^k - 1$ 의 최대공약수(GCD)를 조사하며, 다항식 케이스에서는 곡선 위의 토르션 점에 관한 Lang의 정리에 기반하여 강력한 유한성 결과를 증명한다. 또한 행렬으로의 분석을 확장하여 고유값의 곱셈적 독립성이 성립할 경우 $A^k - I$ 의 원소들 간의 GCD 가 고정된 다항식으로 유 bounds 되며, 원시성 조건이 만족될 경우 무한히 자주 1이 된다고 보여준다.

ABSTRACT

We study the behavior of the greatest common divisor of a^k-1 and b^k-1, where a,b are fixed integers or polynomials, and k varies. In the integer case, we conjecture that when a and b are multiplicatively independent and in addition a-1 and b-1 are coprime, then a^k-1 and b^k-1 are coprime infinitely often. In the polynomial case, we prove a strong version of this conjecture. To do this we use a result of Lang's on the finiteness of torsion points on algebraic curves. We also give a matrix analogue of these results, where for a unimodular matrix A, we look at the greatest common divisor of the elements of the matrix A^k-I.

연구 동기 및 목표

• 고정된 정수 $a, b$ 와 변화하는 $k$ 에 대해 $\gcd(a^k - 1, b^k - 1)$ 의 행동을 이해하는 것, 특히 GCD 가 작을 때의 경우를 중심으로 한다.
• 곱셈적으로 독립인 정수 $a, b$ 에 대해 $\gcd(a-1, b-1) = 1$ 이고, $\gcd(a^k - 1, b^k - 1) = 1$ 이 무한히 자주 발생할 것이라 추측하는 것.
• 함수체의 설정에서 이 추측의 강력한 형태를 증명하는 것. 여기서 $a$ 와 $b$ 는 비상수 다항식으로 대체된다.
• 결과를 행렬으로 일반화하여 정수 또는 다항식 계수를 가진 행렬 $A$ 에 대해 $\gcd(A^k - I)$ 를 분석하고, 고유값의 곱셈적 독립성 조건 하에서 원시성 조건이 무한히 자주 성립할 것이라 추측하는 것.
• 특히 원시체의 곱셈 사상 이론을 통해 대수적 수론을 활용한 행렬 해석의 프레임워크를 확장하는 것.

제안 방법

• 복소수 곱집합 $\mathbb{C}^* \times \mathbb{C}^*$ 의 기약 대수곡선 위의 토르션 점의 유한성에 관한 Lang의 정리를 활용하여 고유값 비율의 단위근 공통 해를 유 bounds 한다.
• 다항식 $f, g$ 에 대해 $\gcd(f^k - 1, g^k - 1)$ 의 유 bounds 를 고유값에 의해 매개변수화된 곡선과 단위근의 교차점으로 환원한다.
• 리만 곡면과 유리형 함수 이론을 적용하여 행렬 $A$ 에 대해 $A^k - I$ 의 원소들의 값을 분석하고, 특히 극과 영점의 성격을 중점적으로 고려한다.
• 자기값의 행동을 분석할 수 있도록 전환 행렬과 재정렬을 통해 행렬 $A$ 를 조르당 표준형으로 변환한다.
• 변환 행렬과 고유값 함수의 유한한 극 집합을 분석하여, $\gcd(A^k - I)$ 를 나누는 선형형식 $t - s$ 는 유한 개 뿐임을 증명한다.
• 리만 곡면 위의 유리형 함수의 차수에 대한 경계를 통해 각 점 $t_0$ 에서 $v_{t_0}(\gcd(A^k - I))$ 가 유 bounds 됨을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 곱셈적으로 독립인 정수 $a, b$ 에 대해 $\gcd(a-1, b-1) = 1$ 이면, 언제 $\gcd(a^k - 1, b^k - 1) = 1$ 이 무한히 자주 발생하는가?
• RQ2 비상수 다항식 $f, g$ 에 대해 $f^k - 1$ 과 $g^k - 1$ 의 GCD 는 $k$ 와 무관하게 유 bounds 되는가?
• RQ3 행렬 $A$ 의 고유값에 어떤 조건이 성립하면, 모든 $k$ 에 대해 $\gcd(A^k - I) = 1$ 이 되는가?
• RQ4 대수기하학적 접근을 통해 스칼라 함수에서의 GCD 유 bounds 결과를 행렬 값 함수로 일반화할 수 있는가?
• RQ5 행렬 $A$ 가 곱셈적으로 독립인 고유값을 가질 경우, $A^k$ 가 무한히 자주 원시적일 수 있는가?

주요 결과

• 곱셈적으로 독립인 비상수 다항식 $f, g$ 에 대해, 모든 $k$ 에 대해 $\gcd(f^k - 1, g^k - 1)$ 는 고정된 다항식 $h$ 를 나눈다. 이는 강력한 균일 유 bounds 를 보여준다.
• 추가로 $\gcd(f-1, g-1) = 1$ 이면, 모든 $k$ 에 대해 $\gcd(f^k - 1, g^k - 1) = 1$ 이며, 이는 유한 개의 진부분 산술등차수열의 합집합 외부에서 성립한다.
• 고유값이 곱셈적으로 독립이거나 $\overline{\mathbb{C}(t)}$ 에서 대각화되지 않는 $\mathbb{C}[t]$ 상의 비특이 행렬 $A$ 에 대해, 모든 $k$ 에 대해 $\gcd(A^k - I)$ 는 고정된 다항식 $h$ 를 나눈다.
• 만약 $A$ 가 원시적(즉, $\gcd(A - I) = 1$) 이면, 모든 $k$ 에 대해 $A^k$ 는 유한 개의 진부분 산술등차수열 외부에서 원시적이다.
• 복소수 단위근 $u \in \mathbb{Q}(\zeta_p)$ 에 대해 비자명한 단위근이면, 행렬 $A(u) \in SL_{p-1}(\mathbb{Z})$ 는 모든 $k \not\equiv 0 \pmod{p}$ 에 대해 $\gcd(A(u)^k - I) = 1$ 이다. 이는 이 경우에서 추측 B 를 증명한다.
• 리만 곡면 위의 유리형 함수의 유한 차수로 인해, 임의의 점 $t_0$ 에서 $\gcd(A^k - I)$ 의 영점의 중복도는 모든 $k$ 에 대해 균일하게 유 bounds 된다.