[논문 리뷰] Total occurrence statistics on restricted permutations

Alexander Burstein, Sergi Elizalde|arXiv (Cornell University)|2013. 05. 14.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 9인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 생성함수, Dyck 경로 이분사법, 블록 분해를 사용하여 2-3-1-회피 및 3-2-1-회피 순열에서 길이 3인 vincular 패턴의 총 발생 수에 대한 정확한 공식을 유도한다. 주요 결과로는 이항계수를 포함하는 닫힌 형식 표현과 계속 분수 생성함수를 통한 패턴 발생 수의 통계(역치, 주요 지표 등)에 대한 표현이 포함되며, 특정 패턴에 대해 등분포 현상이 드러난다.

ABSTRACT

We study the total number of occurrences of several vincular (also called generalized) patterns and other statistics, such as the major index and the Denert statistic, on permutations avoiding a pattern of length 3, extending results of Bona (2010, 2012) and Homberger (2012). In particular, for 2-3-1-avoiding permutations, we find the total number of occurrences of any vincular pattern of length 3. In some cases the answer is given by simple expressions involving binomial coefficients. The tools we use are bijections with Dyck paths, generating functions, and block decompositions of permutations.

연구 동기 및 목표

• 2-3-1 또는 3-2-1-회피 순열에서 길이 3인 vincular 패턴의 총 발생 수를 결정하는 것.
• 기존의 고전적 및 연속된 패턴 통계 연구를 제한된 순열 클래스에서 일반화된(Vincular) 패턴으로 확장하는 것.
• 2-3-1-회피 순열에서 13-2 및 31-2와 같은 특정 vincular 패턴에 대해 등분포 결과를 확립하는 것.
• 무게를 유지하는 이분사법과 생성함수를 통해 패턴 통계를 Dyck 경로 통계와 연결하는 것.
• 패턴 발생 수의 생성함수와 계단 다면체와 같은 조합적 대상 간의 관계를 탐색하는 것.

제안 방법

• 최대 원소로 분리된 왼쪽과 오른쪽 부분으로 2-3-1-회피 순열을 블록 분해하는 것.
• 패턴 발생 수를 추적하는 변수를 포함한 생성함수를 사용하여 재귀적 함수 방정식을 도출하는 것.
• 예를 들어 $ F(q,z) = \cfrac{1}{1 - \cfrac{z}{1 - \cfrac{z}{1 - \cfrac{zq}{1 - \cdots}}}} $ 와 같은 계속 분수 생성함수를 유도하여 패턴 통계를 표현하는 것.
• 계단 다면체와 Dyck 경로 사이에 무게를 유지하는 이분사법을 구성하여 면적 통계를 패턴 무게와 연결하는 것.
• 카탈란 수와 $ q $-이항계수를 포함한 알려진 생성함수 항등식을 활용하여 닫힌 형식을 도출하는 것.
• 다변수 생성함수와 편미분을 사용하여 제한된 순열 집합 위에서 분포 통계를 추출하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 집합 $ \mathcal{S}_n(2\text{-}3\text{-}1) $ 내에서 길이 3인 어떤 vincular 패턴의 총 발생 수는 얼마인가요?
• RQ2 2-3-1-회피 순열에서 13-2와 31-2의 발생 수 통계는 등분포하는가요?
• RQ3 패턴 발생 수의 생성함수는 Dyck 경로 및 다면체의 생성함수와 어떻게 관련이 있나요?
• RQ4 3-2-1-회피 순열에서의 역치 생성함수는 2-3-1-회피 순열에서의 패턴 발생 수 생성함수와 관련이 있는가요?
• RQ5 동일한 생성함수를 가지는 서로 다른 무게 할당이 적용된 Dyck 경로 사이에 직접적인 무게를 유지하는 이분사법이 존재하는가요?

주요 결과

• 특정 경우에서 이항계수를 포함하는 닫힌 형식 표현을 통해 $ \mathcal{S}_n(2\text{-}3\text{-}1) $ 내에서 길이 3인 어떤 vincular 패턴의 총 발생 수가 주어진다.
• 13-2와 31-2의 발생 수는 재귀적 블록 분해와 생성함수 항등식을 통해 $ \mathcal{S}_n(2\text{-}3\text{-}1) $ 에서 등분포함을 보였다.
• $ \mathcal{S}_n(2\text{-}3\text{-}1) $ 내 패턴 발생 수의 생성함수 $ F(q,z) $ 는 계속 분수 항등식 $ F(q,z) = \cfrac{1}{1 - \cfrac{z}{1 - \cfrac{z}{1 - \cfrac{zq}{1 - \cdots}}}} $ 를 만족한다.
• $ F(q,z) $ 는 $ F(q,z) = 1 + \frac{q}{z}P(q, \frac{z}{q}) $ 를 통해 계단 다면체의 생성함수 $ P(q,z) $ 와 관련되며, 여기서 $ P(q,z) $ 는 면적과 반둘레를 기준으로 다면체를 세는 함수이다.
• $ F(q,z) $ 는 $ F(q,z) = \frac{1}{1 - z\mathfrak{J}(q,1;z)} $ 를 통해 3-2-1-회피 순열의 생성함수 $ \mathfrak{J}(q,1;z) $ 와 연결된다.
• 논문은 생성함수 $ \hat{F}(q,z) = F(q,zq) $ 가 $ U $ 스텝이 높이 $ h $ 에서 발생할 때 $ q^{\lfloor h/2\rfloor + 1} $ 으로 가중치가 부여된 Dyck 경로를 세는 것으로, 다면체 면적 통계와 연결됨을 밝혔다.