[논문 리뷰] Total proper connection of graphs

Hui Jiang, Xueliang Li외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 12. 02.

Advanced Graph Theory Research참고 문헌 12인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 그래프에서 총 적절한 연결성의 개념을 도입하며, 정점과 간선이 모두 색칠되어 있어야 하며, 임의의 두 정점 사이에 인접한 간선, 내부 인접한 정점, 그리고 내부 정점과 그에 인접한 간선이 모두 서로 다른 색으로 칠져진 경로가 존재하도록 하는 조건을 만족하는 경로를 정의한다. 주요 기여는 2-연결 그래프에 대해 총 적절한 연결 수 tpc(G)가 4 이하임을 증명하고, 이는 날카로운 상한임을 보이며, 최소 차수 δ를 갖는 일반적인 연결 그래프에 대해 상한 3n/(δ+1)+1을 확립하는 것이다.

ABSTRACT

A graph is said to be {\it total-colored} if all the edges and the vertices of the graph is colored. A path in a total-colored graph is a {\it total proper path} if $(i)$ any two adjacent edges on the path differ in color, $(ii)$ any two internal adjacent vertices on the path differ in color, and $(iii)$ any internal vertex of the path differs in color from its incident edges on the path. A total-colored graph is called {\it total-proper connected} if any two vertices of the graph are connected by a total proper path of the graph. For a connected graph $G$, the {\it total proper connection number} of $G$, denoted by $tpc(G)$, is defined as the smallest number of colors required to make $G$ total-proper connected. These concepts are inspired by the concepts of proper connection number $pc(G)$, proper vertex connection number $pvc(G)$ and total rainbow connection number $trc(G)$ of a connected graph $G$. In this paper, we first determine the value of the total proper connection number $tpc(G)$ for some special graphs $G$. Secondly, we obtain that $tpc(G)\leq 4$ for any $2$-connected graph $G$ and give examples to show that the upper bound $4$ is sharp. For general graphs, we also obtain an upper bound for $tpc(G)$. Furthermore, we prove that $tpc(G)\leq \frac{3n}{δ+1}+1$ for a connected graph $G$ with order $n$ and minimum degree $δ$. Finally, we compare $tpc(G)$ with $pvc(G)$ and $pc(G)$, respectively, and obtain that $tpc(G)>pvc(G)$ for any nontrivial connected graph $G$, and that $tpc(G)$ and $pc(G)$ can differ by $t$ for $0\leq t\leq 2$.

연구 동기 및 목표

• 적절한 연결성과 레인보우 연결성에 대한 이전 연구를 확장하여 그래프에서 총 적절한 연결성의 개념을 정의하고 형식화하는 것.
• 이를 바탕으로 트리, 완전 이분, 완전 다분할 그래프와 같은 특정 그래프 클래스에 대해 총 적절한 연결 수 tpc(G)를 결정하는 것.
• 특히 최소 차수 δ와 순서 n에 따라 2-연결 및 일반 연결 그래프에 대해 tpc(G)의 날카로운 상한을 확립하는 것.
• tpc(G)가 적절한 연결 수 pc(G)와 적절한 정점 연결 수 pvc(G)와 어떻게 관련되어 있는지 비교하여 엄밀한 부등식 관계와 값의 차이를 드러내는 것.

제안 방법

• 인접한 간선, 내부 인접한 정점, 그리고 내부 정점과 그에 인접한 간선이 모두 서로 다른 색을 가져야 하는 경로를 총 적절한 경로로 정의하는 것.
• 모든 정점 쌍이 총 적절한 경로로 연결되도록 보장하기 위해 필요한 최소 색 수를 총 적절한 연결 수 tpc(G)로 정의하는 것.
• 지배 집합 D와 층 N¹(D), N²(D)를 이용한 스패닝 부분그래프 구조를 활용하여 연결성과 색 할당을 분석하는 것.
• N²(D)에 있는 정점들의 공통 이웃의 교집합에 기반한 케이스 분석을 통해 총 적절한 연결성을 보장하는 색 할당 전략을 설계하는 것.
• D, N¹(D), N²(D) 층에 있는 간선과 정점에 색을 할당하는 색 할당 체계를 도입하여 총 적절한 경로 조건을 만족시키는 것.
• 일般 연결 그래프에서 지배 집합의 크기와 차수 제약 조건을 활용하여 상한 tpc(G) ≤ 3n/(δ+1) + 1을 유도하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비자명한 트리, 완전 이분, 완전 다분할 그래프와 같은 특수 그래프 클래스에 대해 tpc(G)의 값은 무엇인가?
• RQ2 2-연결 그래프에 대해 tpc(G)의 최대 가능한 값은 얼마이며, 이 상한은 날카로운가?
• RQ3 tpc(G)는 적절한 연결 수 pc(G)와 적절한 정점 연결 수 pvc(G)와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ4 tpc(G)와 pc(G)는 2보다 더 큰 차이를 가질 수 있는가? 그리고 어떤 값 t에 대해 tpc(G) = pc(G) + t 를 만족하는 그래프가 존재하는가?
• RQ5 모든 k ≥ 4에 대해 tpc(G) = pc(G) = k 를 만족하는 그래프 G가 존재하는가?

주요 결과

• 모든 2-연결 그래프 G에 대해 tpc(G) ≤ 4이며, 이 상한은 명시적인 예시를 통해 날카로움을 입증하였다.
• 순서 n과 최소 차수 δ를 갖는 일반 연결 그래프 G에 대해 tpc(G) ≤ 3n/(δ+1) + 1이다.
• 모든 비자명한 연결 그래프 G에 대해 tpc(G) > pvc(G)이며, G가 완전 그래프가 아닐 경우 tpc(G) ≥ 3 이고 pvc(G) ≤ 2 이다.
• tpc(G) = pc(G) = 3 인 그래프가 존재하여, 두 불변량이 같을 수 있고 1보다 큰 값을 가질 수 있음을 보여준다.
• Δ(T) ≥ 3 인 트리 T에 대해 tpc(T) = pc(T) + 1 이며, tpc(G) = pc(G) + 2 인 그래프도 존재한다.
• tpc(G)와 pc(G)가 t ≥ 3 의 차이를 가질 수 있는지 여부는 아직 미해결 문제로 남아 있으며, 그러한 그래프의 존재성에 대한 열린 문제를 제기한다.