[논문 리뷰] Total variation distance between two diffusions in small time with unbounded drift: application to the Euler-Maruyama scheme

Pierre Bras, Gilles Pagès외 1명|arXiv (Cornell University)|2021. 11. 18.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 5인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 작은 시간 동안 계수들이 유사한 두 Itôo 확산 과정 간의 총변동(TV) 거리에 대한 날카운 경계를 설정한다. 특히 오일러-마르야모 방법에 대해 다룬다. 다단계 리チャ드슨-롬버그 보간법과 전이 밀도에 대한 아론슨의 경계를 사용하여, 확산 계수의 미분계수가 $ C_b^{2r} $이고 드리프트가 $ C^1 $이며 유계 도함수를 가질 경우 TV 거리가 $ t^{r/(2r+1)} $의 주기성을 가짐을 증명한다. 이는 고전적인 $ t^{1/2} $ 속도를 향상시킨다. 반면, 일반적인 경우 $ t^{1/2} $ 속도가 최적임을 확인하는 반례가 존재한다. 즉, 유계 드리프트 조건 하에서도 여전히 최적임을 입증한다.

ABSTRACT

We give bounds for the total variation distance between the solutions to two stochastic differential equations starting at the same point and with close coefficients, which applies in particular to the distance between an exact solution and its Euler-Maruyama scheme in small time. We show that for small $t$, the total variation distance is of order $t^{r/(2r+1)}$ if the noise coefficient $\sigma$ of the SDE is elliptic and $\mathcal{C}^{2r}_b$, $r\in \mathbb{N}$ and if the drift is $C^1$ with bounded derivatives, using multi-step Richardson-Romberg extrapolation. We do not require the drift to be bounded. Then we prove with a counterexample that we cannot achieve a bound better than $t^{1/2}$ in general.

연구 동기 및 목표

• 작은 시간 동안 계수들이 유사한 두 Itôo 확산 과정 간의 총변동 거리에 대한 비점근적 경계를 유도하는 것.
• 드리프트가 유계가 아닐 경우에도 총변동 거리에서 오일러-마르야모 방법의 수렴 속도를 분석하는 것.
• 일반적인 설정에서 $ t^{1/2} $ 수렴 속도가 최적임을 입증하는 것.
• 보간 기법을 사용하여 기존 결과를 유계 드리프트나 일정한 확산 계수를 초월해 확장하는 것.

제안 방법

• SDE 근사에서 총변동 거리의 수렴 속도를 향상시키기 위해 다단계 리처드슨-롬버그 보간법을 적용한다.
• 확산 과정의 법칙의 정규성 제어를 위해 전이 밀도 커널에 대한 아론슨의 경계를 활용한다.
• TV 거리에서 밀도 도함수를 경계하기 위해 말리아빈 미적분학에 영감을 받은 부분적 적분 기법을 사용한다.
• 고차수까지 계수가 0으로 수렴하는 테일러 전개를 구성하여 보간 계획을 수립한다.
• TV 거리를 경계하기 위해 지르산오프 유사 추론과 전이 밀도의 비교를 활용한다.
• 기하 브라운 운동을 사용한 반례를 구성하여 $ t^{1/2} $가 일반적으로 최적임을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 소규모 시간 내 SDE와 그 오일러-마르야모 방법 간의 총변동 거리에서 최적의 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ2 확산 계수가 매끄럽고 드리프트가 유계가 아닐 경우, $ t^{1/2} $ 수렴 속도를 초월할 수 있는가?
• RQ3 드리프트가 유계일지라도 일반적인 경우 $ t^{1/2} $ 속도가 타당한가?
• RQ4 리처드슨-롬버그 보간법은 유계가 아닌 드리프트를 가진 SDE의 TV 수렴 속도를 어떻게 개선하는가?
• RQ5 확산 계수의 타원성과 매끄러움은 TV 수렴에 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 확산 계수가 $ C_b^{2r} $이고 드리프트가 도함수 유계를 가진 $ C^1 $일 경우, 계수들이 유사한 두 확산 과정 간의 총변동 거리는 $ C t^{r/(2r+1)} $ 이하로 경계된다.
• $ r \to \infty $일 때, 수렴 속도는 $ t^{1/2} \exp(C \sqrt{\log(1/t)}) $에 수렴하며, 이는 거의 $ t^{1/2} $에 가까운 수준이다.
• 기하 브라운 운동을 사용한 반례는 $ t^{1/2} $ 속도가 일반적으로 최적이며 향상될 수 없음을 보여준다.
• 이 방법은 $ C_b^2 $ 확산과 $ C^1 $ 드리프트에 대해 $ t^{1/3} $의 속도를 달성하여 고전적인 $ t^{1/2} $ 경계를 향상시킨다.
• 이 경계는 드리프트가 유계가 아닐 경우에도 유지되며, 이는 이전 문헌을 초월하는 핵심적 확장이다.
• TV 거리는 드리프트의 차이보다는 확산 계수의 행동에 의해 지배되며, 이는 매끄러움 조건 하에서 수렴 속도 향상의 이유를 설명한다.