[논문 리뷰] Total variation estimates in the Breuer-Major theorem

David Nualart, Hongjuan Zhou|arXiv (Cornell University)|2018. 07. 25.

Financial Risk and Volatility Modeling참고 문헌 23인용 수 18

한 줄 요약

이 논문은 스텐의 방법과 말리아빈 미적분을 조합하여 브로이어-마조르 정리에서 수렴 속도에 대한 날카운 총변동 경계를 수립한다. 이를 통해 가우시안 시계열의 함수기반과 정규분포 사이의 거리에 대한 새로운 추정치를 도출한다. 주요 기여는 공분산 구조와 함수의 연속성에 따라 달라지는 총변동 거리에서의 수렴 속도를 제공하는 것으로, 분수 Browian 운동의 제곱변화 및 허스트 매개수 추정에 적용된다.

ABSTRACT

This paper provides estimates for the convergence rate of the total variation distance in the framework of the Breuer-Major theorem, assuming some smoothness properties of the underlying function. The results are proved by applying new bounds for the total variation distance between a random variable expressed as a divergence and a standard Gaussian random variable, which are derived by a combination of techniques of Malliavin calculus and Stein's method. The representation of a functional of a Gaussian sequence as a divergence is established by introducing a shift operator on the expansion in Hermite polynomials. Some applications to the asymptotic behavior of power variations of the fractional Brownian motions and to the estimation of the Hurst parameter using power variations are presented.

연구 동기 및 목표

• 고정된 위너 카오스를 초월하여 스텐의 방법과 말리아빈 미적분을 일반적인 가우시안 시계열의 함수기반에 적용하는 것.
• 정적분된 가우시안 시계열의 함수기반의 수렴에 대해 총변동 거리에 대한 정량적 경계를 도출하는 것.
• 브로이어-마조르 정리의 프레임워크 내에서 비카오스 함수기반에 대해 총변동 거리에서의 수렴 속도 추정치가 부족한 문제를 해결하는 것.
• 분수 Browian 운동의 제곱변화에 대해 총변동 거리에서의 수렴 속도 추정에 체계적인 접근법을 제공하는 것.
• 정규 근사 오차를 정량화하여 허스트 매개수 추정에 있어 향상된 통계적 추론을 가능하게 하는 것.

제안 방법

• 말리아빈 미적분과 스텐의 방법을 사용하여 산발형 랜덤 변수와 표준 정규분포 사이의 총변동 거리에 대한 새로운 경계를 유도한다.
• 헤르미트 다항식 전개에 대한 이동 연산자를 도입하여 가우시안 시계열의 함수기반을 산발형으로 표현한다.
• 표현식 $ F = \delta(-DL^{-1}F) $를 적용하여 $ g(X_j) $를 산발형으로 표현함으로써 말리아빈 미적분 도구의 사용을 가능하게 한다.
• 브라스앰프-라이브 부등식과 헬더 부등식을 사용하여 공분산 함수 $ \rho $를 포함하는 다중선형 합의 제어를 한다.
• 인덱스에 대한 합의 분해와 $ L^p $-노름 부등식의 적용을 통해 정규화된 합 $ Y_n / \sigma_n $의 모멘트와 세Ta를 추정한다.
• 네 번째 세타와 세 번째 절대 세타의 경계를 조합하여 총변동 거리에 대해 상하한 경계를 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 브로이어-마조르 정리에서 고정된 위너 카오스를 초월하여 총변동 수렴 속도를 얼마나 정량화할 수 있는가?
• RQ2 스텐의 방법과 말리아빈 미적분의 조합이 단일 위너 카오스에 속하지 않는 함수기반에 어떻게 적응될 수 있는가?
• RQ3 함수 $ g $의 허르미트 순서와 연속성이 총변동 수렴 속도에 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 공분산 함수 $ \rho $의 스펙트럼 성질이 총변동 수렴 속도에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ5 유도된 경계가 분수 Browian 운동의 제곱변화에 적용되어 허스트 매개수 추정을 향상시킬 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 산발형으로 표현된 함수기반에 대해 총변동 거리 $ d_{\rm TV}(F,Z) $에 대한 새로운 경계를 수립하여 고정된 위너 카오스에 대한 기존 결과를 일반화한다.
• 제 $ q $ 위너 카오스에 속하는 함수기반의 경우, 정리 3.1은 정리 1.2의 형태를 회복하며, 정리 3.2는 정리 1.3의 날카운 경계와 일치한다.
• $ Y_n / \sigma_n $가 $ N(0,1) $으로 수렴하는 총변동 거리의 수렴 속도는 $ Y_n $의 세 번째 및 네 번째 세타에 의해 제어되며, $ \rho(k) $의 감쇠에 명시적인 의존성을 가진다.
• $ \sum_{k \in \mathbb{Z}} |\rho(k)|^{1+\frac{1}{M}} < \infty $ 조건 하에서, $ \left( \sum_{|k| \leq n} |\rho(k)| \right)^{M-2} $에 비례하는 경계를 도출하며, 이는 수렴 속도가 공분산 함수의 적분 가능성과 연결됨을 보여준다.
• 경계는 분수 Browian 운동의 제곱변화에 적용되며, 총변동 거리의 수렴 속도가 $ \rho(k) $의 감쇠를 통해 허스트 매개수에 따라 달라짐을 보여준다.
• 결과는 정규분포와 정규화된 제곱변화 사이의 총변동 거리가 $ \rho $의 연속성에 따라 감쇠하며, 헬더 및 브라스앰프-라이브 부등식을 통해 명시적인 상수를 도출함을 암시한다.