[논문 리뷰] Total Variation Regularisation in Measurement and Image space for PET reconstruction

Martin Burger, Jahn Müller외 2명|arXiv (Cornell University)|2014. 03. 05.

Medical Imaging Techniques and Applications참고 문헌 25인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 이미지 공간과 투영(시노그램) 공간에서 동시에 총변동(TV) 정규화를 적용하여 재구성 품질을 향상시키는 새로운 PET 이미지 재구성 방법을 제안한다. 특히 얇은 구조물에 대해 효과적이다. 이미지와 그 라돈 변환(시노그램)에 대한 TV 페널티를 공동으로 최소화함으로써 계단현상(Staircasing)을 감소시키고 경계 유지 성능을 향상시켜, 부드러운 경계를 가진 고해상도이고 현실적인 허브에서 SNR를 높인다. 시노그램 정규화를 적용할 경우 더욱 높은 SNR를 달성한다.

ABSTRACT

The aim of this paper is to test and analyze a novel technique for image reconstruction in positron emission tomography, which is based on (total variation) regularization on both the image space and the projection space. We formulate our variational problem considering both total variation penalty terms on the image and on an idealized sinogram to be reconstructed from a given Poisson distributed noisy sinogram. We prove existence, uniqueness and stability results for the proposed model and provide some analytical insight into the structures favoured by joint regularization. For the numerical solution of the corresponding discretized problem we employ the split Bregman algorithm and extensively test the approach in comparison to standard total variation regularization on the image. The numerical results show that an additional penalty on the sinogram performs better on reconstructing images with thin structures.

연구 동기 및 목표

• 소음으로 인해 자주 흐릿해지는 얇고 길쭉한 구조물을 특히 잘 유지하는 데 목적이 있는 PET 이미지 재구성 품질 향상.
• 표준 이미지 공간 TV 정규화의 한계를 해결하기 위해, 물체 경계에서 계단현상(Staircasing)을 유발하는 문제를 해결하기 위함.
• 이미지 공간 외에도 시노그램(투영 데이터)에 정규화를 추가로 적용할 경우, 포isson 노이즈 하에서 재구성 정밀도가 향상되는지 조사하기 위함.
• 제안된 동시 정규화 모델에 대한 이론적 보장(존재성, 유일성, 안정성)을 확립하기 위함.
• 수치적으로 동시 정규화가 표준 이미지 전용 TV 정규화보다 더 나은 세부 구조 유지 및 SNR 향상을 보임을 입증하기 위함. 특히 고해상도이고 현실적인 허브에서 성능을 평가함.

제안 방법

• 이미지 $ u \in BV(\mathbb{R}^2) $ 에 대한 TV 페널티와 시노그램 $ \mathcal{R}u \in BV(\Sigma) $ 에 대한 TV 페널티를 동시에 적용하는 변분 PET 재구성 모델을 수립하며, 여기서 $ \Sigma $ 는 투영 공간을 의미한다.
• 측정값 $ g $ 에서 발생하는 포isson 노이즈를 모델링하기 위해 가중치가 부여된 $ L^2 $ 적합성 항 $ \int_{\Sigma} \frac{(g - \mathcal{R}u)^2}{g} $ 을 통해 쿨백-라이블러 발산을 근사한다.
• 이미지 공간과 시노그램 공간의 TV 페널티를 균형 잡기 위해 두 개의 정규화 매개변수 $ \alpha $ 와 $ \beta $ 를 도입한다.
• 이산화된 최적화 문제의 효율적 수치적 해를 구하기 위해 스플릿 브레그만 알고리즘을 사용한다.
• 해당 모델의 해를 $ \mathbb{R}^2 $ 에서 원형 물체에 대해 해석적으로 유도하며, 라돈 변환을 통해 해당 시노그램과 이미지를 계산한다.
• 다양한 노이즈 수준과 해상도에서, XCAT 허브를 대상으로 수치 실험을 수행하여 시노그램 정규화 유무에 따라 재구성 결과를 비교한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이미지 공간과 시노그램 공간에서 동시 총변동(TV) 정규화가 표준 이미지 공간 TV 정규화에 비해 얇고 길쭉한 구조물의 유지에 더 나은 성능을 보이는가?
• RQ2 제안된 모델의 해에 대해 존재성, 유일성, 안정성 측면에서 이론적 행동은 어떠한가?
• RQ3 시노그램 정규화 매개변수 $ \beta $ 의 선택이 재구성 품질에 미치는 영향은 무엇이며, 특히 물체 크기와 경계 구조와의 관계는 어떠한가?
• RQ4 제안된 방법이 일반적으로 TV 정규화 재구성에서 관찰되는 계단현상(Staircasing)을 줄일 수 있는가?
• RQ5 어떤 조건에서 시노그램 정규화가 SNR 향상에 기여하는가? 특히 부드러운 경계를 가진 고해상도이고 현실적인 허브에서의 성능을 고려할 때.

주요 결과

• 이미지 공간과 시노그램 공간에 대한 동시 TV 정규화가 물체 경계에서 계단현상(Staircasing)을 크게 감소시켜, 특히 고해상도 XCAT 허브 재구성에서 효과적이다.
• 초기 데이터가 부드러운 경계를 가진 경우(실제 고해상도 허브에서와 유사), 시노그램 정규화로 인해 SNR가 최대 1.75 dB 향상됨(17.76 dB에서 19.51 dB로), 이는 효과성을 입증한다.
• 블록 모양의 경계를 가진 저해상도 허브에서는 시노그램 정규화가 과도한 평활화로 인해 SNR를 떨어뜨리므로, 이는 맥락에 따라 달라지는 효과임을 시사한다.
• 최적의 $ \beta $ 값은 물체의 반지름 $ r $ 또는 그 볼록껍질(convex hull)과 근접한 것으로 밝혀져, 정규화 강도와 물체 크기 사이에 기하학적 관계가 있음을 시사한다.
• 이론적 분석을 통해 해의 존재성, 유일성, 안정성을 확인하였으며, 오차 및 수렴도를 정량화하기 위해 브레그만 거리(Bregman distance)를 사용하였다.
• 수치 결과는 표준 이미지 전용 TV 정규화보다 본 방법이 세부 구조 유지 및 경계 선명함 향상에 뛰어난 성능을 보임을 보여주며, 특히 노이즈가 많고 고해상도 조건에서 두드러진다.