[논문 리뷰] Total weight choosability of d-degenerate graphs

Tsai–Lien Wong, Xuding Zhu|arXiv (Cornell University)|2015. 10. 03.

Graph Labeling and Dimension Problems참고 문헌 11인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 소수 차수의 체와 행렬 행렬식을 이용한 대수적 방법을 통해 d-퇴화 그래프에서의 전체 가중치 선택 가능성에 대한 새로운 결과를 확립한다. 비이분할성 또는 희박한 정점 차수 조건이 만족될 경우, d-퇴화 그래프는 k > d 이고 소수일 때 (1,k)-선택 가능성을 갖는다. 또한 d+1 이 소수일 경우 (d,2)-선택 가능성을 갖는다. 이 결과는 평면 그래프 및 평균 차수 제한이 있는 그래프에 응용된다.

ABSTRACT

A graph $G$ is $(k,k')$-choosable if the following holds: For any list assignment $L$ which assigns to each vertex $v$ a set $L(v)$ of $k$ real numbers, and assigns to each edge $e$ a set $L(e)$ of $k'$ real numbers, there is a total weighting $ϕ: V(G) \cup E(G) o R$ such that $ϕ(z) \in L(z)$ for $z \in V \cup E$, and $\sum_{e \in E(u)}ϕ(e)+ϕ(u) e \sum_{e \in E(v)}ϕ(e)+ϕ(v)$ for every edge $uv$. This paper proves the following results: (1) If $G$ is a connected $d$-degenerate graph, and $k>d$ is a prime number, and $G$ is either non-bipartite or has two non-adjacent vertices $u,v$ with $d(u)+d(v) < k$, then $G$ is $(1,k)$-choosable. As a consequence, every planar graph with no isolated edges is $(1,7)$-choosable, and every connected $2$-degenerate non-bipartite graph other than $K_2$ is $(1,3)$-choosable. (2) If $d+1$ is a prime number, $v_1, v_2, \ldots, v_n$ is an ordering of the vertices of $G$ such that each vertex $v_i$ has back degree $d^-(v_i) \le d$, then there is a graph $G'$ obtained from $G$ by adding at most $d-d^-(v_i)$ leaf neighbours to $v_i$ (for each $i$) and $G'$ is $(1,2)$-choosable. (3) If $G$ is $d$-degenerate and $d+1$ a prime, then $G$ is $(d,2)$-choosable. In particular, $2$-degenerate graphs are $(2,2)$-choosable. (4) Every graph is $(\lceil\frac{{ m mad}(G)}{2} ceil+1, 2)$ -choosable. In particular, planar graphs are $(4,2)$-choosable, planar bipartite graphs are $(3,2)$-choosable.

연구 동기 및 목표

• d-퇴화 그래프가 작은 리스트 크기를 갖는 전체 가중치 선택 가능성을 갖는 조건을 규명하는 것.
• 희박한 그래프 계열에 대한 (1,k)- 및 (k,2)-선택 가능성에 관한 미해결 문제를 해결하는 것.
• 대수적 기법을 통해 1-2-3 및 1-2 추측을 리스트 가중치 설정으로 확장하는 것.
• 최대 평균 차수와 퇴화도를 이용하여 선택 가능성 매개변수에 대한 날카로운 경계를 제공하는 것.

제안 방법

• 소수 차수의 유한 체 위에서의 인cidenc 행렬의 행렬식 기반 대수적 방법을 사용한다.
• 인덱스 함수와 열 연산을 적용하여 그래프 구조와 관련된 행렬을 조작한다.
• 정점 방향성 기반 구성 기법을 사용하여 소수 모듈로에서 비특이 행렬식 값을 확보한다.
• 제한된 뒷차수를 갖는 정점 순서를 도입하여 원하는 선택 가능성 특성을 갖는 보조 그래프를 구축한다.
• 만약 mad(G) ≤ 2k 이면, G는 최대 출력 차수 ≤ k인 방향화를 갖는다.
• 문제를 소수 모듈로에서 행렬식이 0이 아님을 증명하는 것으로 환원하여 리스트 할당의 해가 존재함을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 k > d 이고 소수일 때, d-퇴화 그래프가 (1,k)-선택 가능성이 되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 d+1 이 소수일 경우, d-퇴화 그래프에 대해 (d,2)-선택 가능성을 확립할 수 있는가?
• RQ3 최대 평균 차수와 (k,2)-선택 가능성 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ4 추가된 잎을 가진 보조 그래프를 어떻게 사용하여 선택 가능성 성질을 전달할 수 있는가?
• RQ5 희박한 그래프에 대해 1-2-3 및 1-2 추측을 리스트 가중치 설정으로 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 비이분할성 또는 두 인접하지 않은 정점 u, v가 d(u)+d(v) < k 를 만족할 경우, 연결된 d-퇴화 그래프는 k > d 이고 소수일 때 (1,k)-선택 가능성이 있다.
• 고립된 간선이 없는 모든 평면 그래프는 (1,7)-선택 가능성이 있고, 연결된 2-퇴화 비이분할 그래프 (K₂ 제외)는 (1,3)-선택 가능성이 있다.
• d+1 이 소수이고 G가 d-퇴화일 경우, G는 (d,2)-선택 가능성이 있다; 특히 2-퇴화 그래프는 (2,2)-선택 가능성이 있다.
• 모든 d-퇴화 그래프 G에 대해 d+1 이 소수이면, 각 정점 vᵢ에 대해 최대 d−d⁻(vᵢ)개의 잎을 추가하여 얻는 슈퍼그래프 G' 가 존재하며, G' 는 (1,2)-선택 가능성이 있다.
• 모든 그래프 G는 (⌈mad(G)/2⌉+1, 2)-선택 가능성이 있다; 특히 평면 그래프는 (4,2)-선택 가능성이 있고, 평면 이분할 그래프는 (3,2)-선택 가능성이 있다.
• 증명은 ℤ_{d+1} 위에서 적절히 구성된 행렬의 행렬식이 0이 아니라는 것을 보여, 주어진 리스트로부터 적절한 전체 가중치가 존재함을 보장한다.