[논문 리뷰] Tournament quasirandomness from local counting

Matija Bucić, Eoin Long외 2명|arXiv (Cornell University)|2019. 10. 22.

Advanced Graph Theory Research참고 문헌 30인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 더 큰 토너먼트 T에서 단일 h-정점 토너먼트 H의 국소적 카운트가 T가 준임의적임을 강제하는지 분석함으로써 토너먼트 준임의성에 대해 연구한다. 비순서적 H의 전역적 카운트는 준임의성을 유도하지 않지만, 일정 비율의 토너먼트는 국소적으로 강제함—즉, 그들의 국소적 카운트가 준임의성을 유일하게 특징짓는—것으로 밝혀지며, 오직 강력한 준임의적 토너먼트만이 국소적으로 강제할 수 있음이 증명된다. 주요 기여는 도수 수세기 다항식과 난수 생성을 통한 구조적 특성 기반의 국소적으로 강제되는 토너먼트의 특성화이다.

ABSTRACT

A well-known theorem of Chung and Graham states that if $h\geq 4$ then a tournament $T$ is quasirandom if and only if $T$ contains each $h$-vertex tournament the "correct number" of times as a subtournament. In this paper we investigate the relationship between quasirandomness of $T$ and the count of a single $h$-vertex tournament $H$ in $T$. We consider two types of counts, the global one and the local one. We first observe that if $T$ has the correct global count of $H$ and $h \geq 7$ then quasirandomness of $T$ is only forced if $H$ is transitive. The next natural question when studying quasirandom objects asks whether possessing the correct local counts of $H$ is enough to force quasirandomness of $T$. A tournament $H$ is said to be locally forcing if it has this property. Variants of the local forcing problem have been studied before in both the graph and hypergraph settings. Perhaps the closest analogue of our problem was considered by Simonovits and Sós who looked at whether having "correct counts" of a fixed graph $H$ as an induced subgraph of $G$ implies $G$ must be quasirandom, in an appropriate sense. They proved that this is indeed the case when $H$ is regular and conjectured that it holds for all $H$ (except the path on 3 vertices). Contrary to the Simonovits-Sós conjecture, in the tournament setting we prove that a constant proportion of all tournaments are not locally forcing. In fact, any locally forcing tournament must itself be strongly quasirandom. On the other hand, unlike the global forcing case, we construct infinite families of non-transitive locally forcing tournaments.

연구 동기 및 목표

• 더 큰 토너먼트 T에서 단일 h-정점 토너먼트 H의 국소적 카운트가 T가 준임의적임을 유도하는지 여부를 결정하는 것.
• 국소적으로 강제되는, 즉 국소적 카운트를 통해 준임의성을 강제하는 토너먼트 H를 특성화하는 것.
• 국소적 강제성과 전역적 강제성을 대조하여, 비순서적 H의 전역적 카운트가 T의 준임의성을 유도하지 않는다는 것을 보여주는 것.
• 도수 수세기 다항식과 난수 토너먼트 모델을 사용하여 국소적으로 강제되는 토너먼트의 구조적 특성 기반을 설정하는 것.
• 도수 수세기 다항식의 계수를 이용한 다항식 근 찾기와 계산 복잡도를 통한 국소적 강제성의 알고리즘적 결정 가능성 탐색

제안 방법

• 국소적 강제성은 토너먼트 T가 랜덤 토너먼트와 동일한 H의 국소적 카운트를 가질 때에만 준임의적임을 의미하는 성질로 정의한다.
• 규칙성 보조정리를 사용하여 국소적 카운트를 분석하고, 국소적 강제성에 필요한 H의 구조적 제약 조건을 유도한다.
• H의 정점 a-튜플에서의 간선 수 분포를 코딩하는 도수 수세기 다항식 q_{H,a}(x)를 도입한다.
• 거의 정규 토너먼트에 대한 난수 분포를 사용하여 비순서적 국소적으로 강제되는 토너먼트의 무한한 가족을 구성한다.
• 국소적 강제성 문제를 특정 스케일링된 도수 수세기 다항식이 (0,1] 내에 공통 근을 가지는지 확인하는 것으로 환원한다.
• 코시-슈바르츠 부등식과 간선 수 추정을 사용하여 국소 카운트 일치 조건을 만족하기 위한 정점 도수 불균형에 대한 필요 조건을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 국소적 카운트가 토너먼트 T의 준임의성을 유일하게 결정짓는 토너먼트 H는 무엇인가?
• RQ2 비순서적 토너먼트는 국소적으로 강제가 될 수 있는가? 만약 가능하다면, 어떤 구조적 성질을 가져야 하는가?
• RQ3 단일 비순서적 H의 전역적 카운트가 T의 준임의성을 강제하는 데 충분한가? 만약 그렇지 않다면 그 이유는 무엇인가?
• RQ4 국소적 강제성과 H의 도수 수세기 다항식의 구조 간의 관계는 무엇인가?
• RQ5 도수 수세기 다항식의 계수를 사용하여 국소적 강제성 성질을 다항식 시간 내에 결정할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 토너먼트 중 일정 비율이 국소적으로 강제되지 않으며, 이는 국소적 강제성이 희귀하고 구조적인 성질임을 보여준다.
• 모든 국소적으로 강제되는 토너먼트는 스스로가 강력한 준임의적이어야 하며, 이는 랜덤 토너먼트와 동일한 전역적 준임의성 조건을 만족한다는 의미이다.
• 비순서적 토너먼트의 무한한 가족이 국소적으로 강제되도록 구성되었으며, 이는 전역적 순서성이 국소적 강제성에 필수적이지 않음을 보여준다.
• 토너먼트 H가 국소적으로 강제임과 동시에 T_clique-forcing이자 T_bip-forcing임은 동치이며, 이는 구조적 이분법을 제공한다.
• 국소적 강제성 성질은 스케일링된 도수 수세기 다항식이 (0,1] 내에 공통 근을 가지는지 확인하는 것으로 환원되며, 이는 잠재적인 알고리즘적 접근을 제공한다.
• Tr_3 및 C_3와 같은 작은 토너먼트의 경우, 도수 불균형과 코시-슈바르츠 추정을 통해 직접 국소적 강제성 여부를 검증할 수 있으며, 이는 그들의 국소적 강제성 상태를 확인한다.