[논문 리뷰] Toward accurate polynomial evaluation in rounded arithmetic

James Demmel, Ioana Dumitriu외 1명|ArXiv.org|2005. 08. 18.

Numerical Methods and Algorithms참고 문헌 64인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 다변수 다항식이 반올림 산술에서 상대오차가 1 미만이 되는 정확한 평가가 가능한지 판단하는 의사결정 절차를 개발한다—기본 연산과 상수를 사용하여 정의된다. 다항식의 정확한 평가를 위한 필요 및 충분 조건을 확립하며, 특히 복소수 도메인에서 정수 계수를 가진 동차 다항식에 대해 분석하고, 특정 구조를 가진 행렬(예: 다항식 바르미엔드 행렬)이 추가 연산이 있더라도 그 역행렬 계산이 불가능한 이유를 그 행렬의 주요 소수에 내재된 불가분의 대수적 구조 때문임을 증명한다.

ABSTRACT

Given a multivariate real (or complex) polynomial $p$ and a domain $\cal D$, we would like to decide whether an algorithm exists to evaluate $p(x)$ accurately for all $x \in {\cal D}$ using rounded real (or complex) arithmetic. Here ``accurately'' means with relative error less than 1, i.e., with some correct leading digits. The answer depends on the model of rounded arithmetic: We assume that for any arithmetic operator $op(a,b)$, for example $a+b$ or $a \cdot b$, its computed value is $op(a,b) \cdot (1 + δ)$, where $| δ|$ is bounded by some constant $ε$ where $0 < ε\ll 1$, but $δ$ is otherwise arbitrary. This model is the traditional one used to analyze the accuracy of floating point algorithms.Our ultimate goal is to establish a decision procedure that, for any $p$ and $\cal D$, either exhibits an accurate algorithm or proves that none exists. In contrast to the case where numbers are stored and manipulated as finite bit strings (e.g., as floating point numbers or rational numbers) we show that some polynomials $p$ are impossible to evaluate accurately. The existence of an accurate algorithm will depend not just on $p$ and $\cal D$, but on which arithmetic operators and which constants are are available and whether branching is permitted. Toward this goal, we present necessary conditions on $p$ for it to be accurately evaluable on open real or complex domains ${\cal D}$. We also give sufficient conditions, and describe progress toward a complete decision procedure. We do present a complete decision procedure for homogeneous polynomials $p$ with integer coefficients, ${\cal D} = \C^n$, and using only the arithmetic operations $+$, $-$ and $\cdot$.

연구 동기 및 목표

• 다변수 다항식 $ p(x) $ 가 반올림 산술에서 상대오차가 1 미만이 되는 정확한 알고리즘의 존재 여부를 판단하는 의사결정 절차를 개발하는 것.
• 사용 가능한 연산, 상수, 도메인에 따라 정확한 평가가 가능하거나 불가능한 대수적 및 산술적 조건을 규명하는 것.
• 특히 동차성과 불가약성과 같은 다항식의 구조가 정확한 평가의 가능성에 미치는 영향을 분석하는 것.
• 바르미엔드, 코시 행렬 등 구조적 행렬에 대한 정확한 선형대수 알고리즘 기존 연구를 확장하여 근본적인 대수적 장애를 규명하는 것.
• 기본 다항식의 다양체가 원인인 바람에 특정 행렬 연산(예: 역행렬, 주요 소수)이 추가 연산이 있더라도 정확하게 계산될 수 없는 이유를 명확히 하는 것.

제안 방법

• 반올림 산술을 표준 부동소수점 모델로 모델링하여 각 연산이 상대오차 $ \epsilon \ll 1 $ 이내로 제한되며, $ \delta $ 는 그 범위 내에서 임의로 선택됨.
• 대수기하학을 사용하여 다항식 $ p(x) $ 의 다양체를 분석하고, 반올림 오차 하에서 $ p $ 의 영점 집합이 유지되는지 여부를 집중적으로 분석.
• 기본 산술 연산과 상수를 사용하여 정확하게 계산 가능한 다항식 다양체를 정의하는 '허용 가능한 다양체' 개념을 적용.
• 복소수 $ \mathbb{C}^n $ 에서 정수 계수를 가진 동차 다항식의 경우, 항의 지배성과 비지배적 단항식의 제거 기반으로 필요 및 충분 조건을 유도.
• 구조적 행렬(예: 다항식 바르미엔드)의 주요 소수를 다항식의 행렬 행렬식으로 표현하고, 그 결과 다항식의 불가약성을 연구.
• 대칭 함수(예: 슈어 함수)를 활용하여 행렬식 표현을 분해하고, 특정 주요 소수가 불가약한 다항식을 정의함을 증명함으로써 정확한 평가의 불가능성을 입증함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다변수 다항식 $ p $ 와 도메인 $ \mathcal{D} $ 에 대해 반올림 산술에서 상대오차가 1 미만이 되는 정확한 평가 알고리즘이 존재하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 정수 계수를 가진 동차 다항식에 대해 $ \mathbb{C}^n $ 에서 $ +, -, \cdot $ 만을 사용하여 정확한 알고리즘 존재 여부를 알고리즘적으로 결정할 수 있는가?
• RQ3 왜 특정 구조적 행렬(예: 다항식 바르미엔드 행렬)은 추가 연산이 있더라도 그 역행렬이나 주요 소수 계산이 불가능한가?
• RQ4 행렬 주요 소수를 정의하는 다항식의 불가약성이 정확한 평가 불가능성에 미치는 역할은 무엇인가?
• RQ5 특정 다항식 클래스(예: 수직다항식)에서는 일반적인 제약에도 불구하고 정확한 SVD나 EVD 계산이 가능한가?

주요 결과

• 복소수 $ \mathbb{C}^n $ 에서 정수 계수를 가진 동차 다항식에 대해, 항의 지배성과 비지배적 단항식의 제거 기반으로 $ +, -, \cdot $ 만을 사용하여 정확한 평가 가능 여부를 판단하는 완전한 의사결정 절차가 존재한다.
• 다항식 바르미엔드 행렬의 역행렬은 고전적 반올림 산술에서도 추가 연산이 있더라도 정확하게 계산될 수 없으며, 주요 소수가 불가약한 다항식을 정의하고, 그 다양체가 허용 가능하지 않기 때문이다.
• 다항식 바르미엔드 행렬의 주요 소수 행렬식은 슈어 함수의 선형 조합으로 표현되며, $ n \geq 4 $ 일 경우 이 표현식은 차수 $ k \geq 2 $ 의 불가약한 인수를 가지며, 이는 정확한 평가가 불가능함을 의미한다.
• 다항식 바르미엔드 행렬의 LDU 분해 역시 정확하게 계산될 수 없으며, 이는 표준 바르미엔드 경우와 동일한 부정확성을 그대로 물려받기 때문이다.
• 특수한 다항식 클래스(예: 수직다항식)의 경우 정확한 SVD와 가능성을 고려한 대칭 EVD 계산이 가능함을 보여주며, 이는 다항식의 구조가 일반적인 불가능성에도 불구하고 정확한 계산 가능성을 가능하게 함을 시사한다.
• 이 논문은 특정 구조적 행렬에 대해 추가로 가산적인 차수 제한이 있는 블랙박스 연산을 도입하더라도, 기저 다항식의 대수적 성격으로 인해 정확한 역행렬 계산이 여전히 불가능하다는 것을 증명한다.