[논문 리뷰] Toward the Combinatorial Limit Theory of Free Words

Danny Rorabaugh|arXiv (Cornell University)|2015. 09. 15.

semigroups and automata theory참고 문헌 7인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 자유 단어에 대한 조합론적 극한 이론을 개발하며, 패턴 포함 및 피避를 분석하여 Zimin 단어와 같은 피피할 수 없는 단어의 밀도에 중점을 두었다. 확률적 방법과 구조적 분석을 사용하여 무작위 및 긴 단어에서의 기대 및 최소 밀도에 대한 점근적 결과를 도출하였으며, 주요 기여로는 Zimin 단어 피피避에 대한 경계와 이중화 성질에 기반한 무작위 단어에서의 밀도 이분법이 포함되어 있다.

ABSTRACT

Free words are elements of a free monoid, generated over an alphabet via the binary operation of concatenation. Casually speaking, a free word is a finite string of letters. Henceforth, we simply refer to them as words. Motivated by recent advances in the combinatorial limit theory of graphs-notably those involving flag algebras, graph homomorphisms, and graphons-we investigate the extremal and asymptotic theory of pattern containment and avoidance in words. Word V is a factor of word W provided V occurs as consecutive letters within W. W is an instance of V provided there exists a nonerasing monoid homomorphsism ϕ with ϕ(V) = W. For example, using the homomorphism ϕ defined by ϕ(P) = Ror, ϕ(h) = a, and ϕ(D) = baugh, we see that Rorabaugh is an instance of PhD. W avoids V if no factor of W is an instance of V. V is unavoidable provided, over any finite alphabet, there are only finitely many words that avoid V. Unavoidable words were classified by Bean, Ehrenfeucht, and McNulty (1979) and Zimin (1982). We briefly address the following Ramsey-theoretic question: For unavoidable word V and a fixed alphabet, what is the longest a word can be that avoids V? The density of V in W is the proportion of nonempty substrings of W that are instances of V. Since there are 45 substrings in Rorabaugh and 28 of them are instances of PhD, the density of PhD in Rorabaugh is 28/45. We establish a number of asymptotic results for word densities, including the expected density of a word in arbitrarily long, random words and the minimum density of an unavoidable word over arbitrarily long words. This is joint work with Joshua Cooper.

연구 동기 및 목표

• 기존에 그래프에 대해 개발된 조합론적 극한 이론 프레임워크를 자유 단어와 패턴 피피避의 영역으로 확장하기 위해.
• 특히 Zimin 단어와 같은 피피할 수 없는 패턴에 대해 단어 밀도의 극값 및 점근적 행동을 조사하기 위해.
• 고정된 알파벳에서 피피할 수 없는 패턴을 피하는 가장 긴 단어의 길이를 규명하여 라미지-이론적 질문에 답하기 위해.
• 임의의 긴 무작위 단어에서 피피할 수 없는 단어의 기대 및 최소 밀도를 특성화하기 위해.
• 자유 단어를 위한 극한 이론의 기초를 탐색하기 위해 수렴, 극한 객체, 준무작위성의 유사 개념을 포함하기 위해.

제안 방법

• Zimin 단어를 피하는 단어의 길이에 하한을 도출하기 위해 첫 번째 모멘트 방법을 사용하였다.
• 최소 Zimin 인스턴스 분석을 적용하여 피피避 경계를 정교화하고 구조적 제약을 이해하였다.
• 장기적인 단어에서 부분문자열 분포를 분석하기 위해 전이 확률을 모델링하기 위해 de Bruijn 그래프를 활용하였다.
• 이중화된 단어와 이중화되지 않은 단어를 구분하여 무작위 단어에서 단어 인스턴스의 밀도를 분석하였다.
• 기대 호모모르피 수와 점근적 밀도를 계산하기 위해 확률적 및 조합론적 기법을 적용하였다.
• 계산적 검증과 Sage 코드를 사용하여 Zimin 단어의 밀도 및 호모모르피 수에 대한 결과를 검증하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고정된 유한 알파벳에서 주어진 피피할 수 없는 단어 V를 피할 수 있는 가장 긴 단어는 무엇인가?
• RQ2 q-문자 알파벳에서 균일하게 무작위로 선택된 장기적인 단어에서 고정된 피피할 수 없는 단어 V의 기대 밀도는 얼마인가?
• RQ3 임의의 긴 단어에서 피피할 수 없는 단어 V의 최소 가능한 밀도는 얼마인가?
• RQ4 단어 길이가 증가함에 따라 Zimin 단어 Zn의 밀도는 점근적으로 어떻게 행동하는가?
• RQ5 요소 또는 인스턴스 밀도에 기반하여 자유 단어에 대해 준무작위성의 생산적인 개념을 정의할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 q-문자 알파벳에서 장기적인 무작위 단어에서 임의의 피피할 수 없는 단어 V의 기대 밀도가 잘 정의된 극한으로 수렴함을 입증하였으며, Zimin 단어에 대해 명시적인 경계를 도출하였다.
• Zimin 단어의 경우, 모든 장기적인 단어에서의 최소 밀도는 0에서 벗어나 있어, 피피할 수 없는 패턴이 장기적인 문자열에서 본질적으로 흔하다는 것을 나타낸다.
• 밀도 이분법이 증명되었다: 무작위 단어에서 단어 V의 밀도는 점근적으로 V가 이중화되었는지 여부에 따라 0이거나 0에서 벗어나 있는 것으로 나뉜다.
• 길이 n인 무작위 단어에서 단어 V로의 호모모르피 수의 기대값은 V의 반복되지 않는 문자 수 k에 대해 점근적으로 n^k에 비례한다.
• 계산 결과에 따르면, I(Z2, q)와 I(Z3, q)는 각각 무작위 단어에서 Zimin 인스턴스의 기대 수를 나타내며, q에 따라 예측 가능하게 증가하며, q = 6까지의 값이 계산되었다.
• 논문은 Z3를 피하는 이진 단어의 최대 길이에 대해 구성적 하한을 제시하였으며, 이는 계산적으로 검증되었으며, Z4를 피하는 장기적인 이진 단어도 제시하였다.