[논문 리뷰] Towards A Categorical Approach of Transformational Music Theory

Alexandre Popoff|arXiv (Cornell University)|2012. 04. 14.

Neuroscience and Music Perception참고 문헌 15인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 군oids와 범주 확장을 사용하여 변환 음악 이론의 범주적 프레임워크를 제안하며, 네오-리만 변환을 일반화하여 부분적, 비가역적, 서로 다른 기수를 가진 카드널리티의 코드 변환을 가능하게 한다. 이는 표준 와펜 프로덕트 군을 범주 내 복합체로 복원함으로써, 다양한 변환 체계를 하나의 대수적 구조로 통합한다.

ABSTRACT

Transformational music theory mainly deals with group and group actions on sets, which are usually constituted by chords. For example, neo-Riemannian theory uses the dihedral group D24 to study transformations between major and minor triads, the building blocks of classical and romantic harmony. Since the developments of neo-Riemannian theory, many developments and generalizations have been proposed, based on other sets of chords, other groups, etc. However music theory also face problems for example when defining transformations between chords of different cardinalities, or for transformations that are not necessarily invertible. This paper introduces a categorical construction of musical transformations based on category extensions using groupoids. This can be seen as a generalization of a previous work which aimed at building generalized neo-Riemannian groups of transformations based on group extensions. The categorical extension construction allows the definition of partial transformations between different set-classes. Moreover, it can be shown that the typical wreath products groups of transformations can be recovered from the category extensions by "packaging" operators and considering their composition.

연구 동기 및 목표

• 네오-리만 이론의 한계, 즉 비가역적 변환과 서로 다른 기수를 가진 코드 간의 변환을 해결하기 위해.
• 기존의 군 기반 변환 체계를 그들 자체를 범주적 프레임워크로 확장함으로써 일반화하기 위해.
• 가역적이고 부분적인 변환 간의 조합을 수용할 수 있는 통합된 대수적 구조를 제공하기 위해.
• 와펜 프로덕트와 같은 알려진 변환 군을 제안된 범주 확장 프레임워크 내에서 복합체로 복원하기 위해.

제안 방법

• 논문은 군oids 확장을 사용하여 음악적 변환의 범주를 구성함으로써, 코드 간 부분적이고 비가역적인 사상 가능성을 허용한다.
• 이전의 군 확장 방법을 이차적으로 개선하여, 서로 다른 기수를 가진 코드 간의 변환을 모델링하기 위해 이를 범주적 프레임워크에 통합한다.
• 범주론적 복합을 사용하여 연산자 시퀀스를 모델링함으로써, 와펜 프로덕트와 같은 표준 변환 군을 복원할 수 있다.
• 군oids는 세트-클래스 간의 변환을 표현하며, 사상은 변환과 그 적용 가능 영역을 모두 코딩한다.
• 비가역성과 전체 영역 커버리지 요구 조건을 완화시킴으로써, 네오-리만 연산을 일반화한다.
• 범주적 구조는 변환 연산자들을 체계적으로 패ckaging하고 복합화할 수 있게 하며, 대수적 일관성을 유지한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다른 기수를 가진 코드 간의 비가역적이고 부분적인 변환을 포함하도록 변환 음악 이론을 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 변환 음악 이론에서 사용되는 표준 와펜 프로덕트 군은 더 기본적인 범주적 구성에서 유도될 수 있는가?
• RQ3 영역 제한이나 비가역성이 발생할 경우, 음악적 변환의 복합을 가장 잘 묘사하는 대수적 구조는 무엇인가?
• RQ4 군oids 기반 확장은 실제 화성 진행을 모델링할 때 기존의 군 기반 모델에 비해 어떤 방식으로 향상되는가?
• RQ5 범주 확장은 어떻게 다양한 변환 체계를 하나의 이론적 프레임워크 아래 통합하는가?

주요 결과

• 제안된 범주 확장 프레임워크는 서로 다른 기수를 가진 코드 간의 부분적이고 비가역적 변환을 성공적으로 모델링하여, 전통적인 군 기반 접근의 핵심적 한계를 극복한다.
• 이 프레임워크는 이전의 군 확장 방법을 범주적 구조에 통합함으로써, 복합성과 영역 지정을 지원함으로써 이를 일반화한다.
• 와펜 프로덕트와 같은 표준 변환 군은 제안된 범주 내에서 연산자의 복합체로 복원되며, 기존 이론과의 일관성을 입증한다.
• 군oids의 사용은 변환을 더 세밀하게 표현할 수 있게 하며, 사상이 변환과 그 유효 영역을 모두 코딩한다.
• 범주적 구성은 비가역적 또는 제한된 사상이 있는 다양한 변환 체계를 수용할 수 있는 통합 프레임워크를 제공한다.