[논문 리뷰] Towards a Constructive Framework for Stabilization and Control of Nonlinear Systems: Passivity and Immersion (P\&I) Approach

Syed Shadab Nayyer, Sushama Wagh외 1명|arXiv (Cornell University)|2022. 08. 22.

Control and Stability of Dynamical Systems인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 비선형 시스템을 안정화하기 위해 불변 목표 다양체, 수동 출력, 그리고 비퇴화된 두차형식에서 유도된 저장 함수를 활용하는 새로운 수동성 및 침입(Passivity and Immersion, P&I) 프레임워크를 제안한다. 이 방법은 다양한 제어 철학을 통합하며, 암시적 다양체를 통한 매개변수에 의존하지 않는 안정화를 가능하게 하고, 구조적 또는 비구조적 비선형 시스템에 모두 적용 가능한 체계적이고 구축 가능한 접근법을 제공한다. 이는 파arametric strict-feedback 형태를 포함한 비선형 시스템에도 적용 가능하다.

ABSTRACT

The varied and complex dynamics of real-world systems challenge the formulation of a systematic strategy for designing a stabilizing feedback law. Rather than taking a universal approach, the control strategies developed thus far to handle this problem are specific to the inherent structure of the system under consideration. Therefore, this paper attempts to develop a generalized theory for the design of the stabilizing feedback law wherever possible for a general class of systems, including the systems in standard structured and unstructured forms discussed in the existing literature. The theory behind this general controller design theory utilizes the idea of an invariant target manifold giving rise to a non-degenerate two form, through which the definition of certain passive outputs and storage functions leads to a generation of control law for stabilizing the system. Because the above concepts are linked with the Immersion and Invariance (I&I) design policy and the passivity theory of controller design, the proposed methodology is labeled as the "Passivity and Immersion (P&I) approach". Furthermore, being a constructive methodology, the various worked examples in this paper exemplify and demonstrate the various design paradigms such as Backstepping, Incremental Backstepping, Forwarding, I&I, and the techniques based on the generation of Control Contraction Metrics (CCM) can be unified in the P&I methodology.

연구 동기 및 목표

• 기존 방법(예: 제어 라플라스 함수, CLF 및 역추적법)의 한계를 극복하고, 비선형 시스템 안정화를 위한 일반적이고 체계적인 프레임워크를 개발한다.
• 역추적법, 전진 제어, 수축 이론 등 다양한 제어 설계 철학을 하나의 이론적 틀 안에서 통합한다.
• 침입 및 불변성(I&I) 방법에서의 체계적 절차 부족 문제, 특히 다양체의 흡인성 확보 문제를 해결한다.
• 암시적 다양체, 수동 출력, 저장 함수를 구성함으로써 매개변수 불확실성에 대해 불변성을 유지함으로써 매개변수에 의존하지 않는 안정화를 가능하게 한다.
• 구조적(예: 엄격한 피드백 형태) 및 비구조적 비선형 시스템에 모두 적용 가능한 체계적이고 계산적으로 실현 가능한 방법을 제공한다.

제안 방법

• 이 프레임워크는 불변 목표 다양체를 통해 비퇴화된 두차형식을 구성하며, 이는 수동 출력과 저장 함수의 정의를 가능하게 한다.
• 이 방법은 두 단계 과정을 사용한다: 첫째, 전체 질량을 가진 Σ(x)를 가진 맵핑 Ψ(ν(η)) = ∇Ψ(ν(η))을 통해 목표 다양체를 정의하고, 둘째, Finsler-Lyapunov 함수(FLF)를 통해 흡인성을 확보한다. 이때 V̇ ≤ −τ(x)V 를 만족시켜야 한다.
• 제어 법칙은 확장된 시스템의 변동 동역학이 δẋ = σ(x)δx 를 만족시키는 조건에서 유도되며, 여기서 σ(x) = ∇[f(x) + g(x)Υ(x)] 이다.
• 후보 FLF로는 V(x, δx) = δxᵀΣᵀ(x)Ξ(x)Σ(x)δx 를 사용하며, 이는 궤적을 따라 감소해야 하며, 이는 지수적 안정성을 보장한다.
• 이 방법은 수축 이론과 제어 수축 메트릭(CCm)의 개념을 통합하며, 리만 메트릭 M(x)를 사용하고, δxᵀMB = 0 일 때 AᵀM + MA + Ṁ + 2αM ≤ 0 이어야 한다.
• 이 방법은 매개변수 엄격 피드백(PSF) 형태의 시스템에 대해 검증되었으며, 적용 가능성과 전역 점근적 안정성에 수렴하는 것을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시스템의 특정 구조에 의존하지 않는 일반적이고 체계적인 비선형 시스템 안정화 프레임워크를 어떻게 개발할 수 있는가?
• RQ2 P&I 접근법이 역추적법, 전진 제어, 수축 이론과 같은 기존 제어 방법들을 하나의 이론적 기초 아래 통합할 수 있는가?
• RQ3 침입 및 불변성(I&I) 방법에서 라플라스 함수의 임의적 선택 없이 다양체의 흡인성을 어떻게 체계적으로 달성할 수 있는가?
• RQ4 수동 출력과 저장 함수를 어떻게 매개변수에 의존하지 않게 구성할 수 있는가? 이는 매개변수 불확실성에 대한 강건성을 보장하기 위함이다.
• RQ5 제안된 P&I 프레임워크를 사용할 때 비선형 시스템의 보편적 지수적 안정화를 보장하는 조건은 무엇이며, 특히 PSF 및 비삼각형 형태에서 어떻게 적용되는가?

주요 결과

• P&I 프레임워크는 엄격한 피드백 또는 피드포워드 구조가 없는 비선형 시스템의 광범위한 클래스에 대해 안정화 제어 법칙을 성공적으로 구성한다.
• 암시적 다양체, 수동 출력, 저장 함수를 정의함으로써 매개변수 변화에 대해 불변성을 유지함으로써 매개변수에 의존하지 않는 안정화를 달성한다.
• 매개변수 엄격 피드백(PSF) 형태의 시스템에 대해서는, 확장된 시스템 역학을 통해 평형점 x*의 전역 점근적 안정성(GAS)을 보장한다.
• 이 프레임워크는 고전적 I&I 접근법에서의 체계적 방법 부족 문제를 해결하고, 다양체의 흡인성을 위한 체계적 절차를 제공한다.
• 제어 수축 메트릭(CCM)이 심화 가능 조건(201)을 만족할 경우, 보편적 지수적 안정화가 보장되며, 이는 정리 5에서 증명되었다.
• 이론적 및 수치적 결과는 P&I 접근법이 역추적법, 전진 제어, 수축 기반 제어와 같은 다양한 제어 철학을 하나의 체계적이고 구축 가능한 프레임워크 안에서 통합함을 보여준다.