[논문 리뷰] Towards a probability-free theory of continuous martingales

Vladimir Vovk, Glenn Shafer|arXiv (Cornell University)|2017. 03. 25.

Stochastic processes and financial applications인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 확률적 가정 없이 연속적인 가격 경로를 가진 금융 시장에서 연속시간 마팅게일의 확률론적 배제된 이론을 개발한다. 게임 이론적 확률을 사용하여 확률적 가정 없이 초마팅게일, 마팅게일, 그리고 세미마팅게일을 정의한다. 주요 결과들인 두빈-슈바르츠 정리와 기르산وف 정리의 확률론적 배제된 형태를 수립하고, 경로에 기반한 국소 시간과 연속시간 자본 과정을 사용하여 게임 이론적 주식 프리미엄과 CAPM 관계를 유도한다.

ABSTRACT

Without probability theory, we define classes of supermartingales, martingales, and semimartingales in idealized financial markets with continuous price paths. This allows us to establish probability-free versions of a number of standard results in martingale theory, including the Dubins-Schwarz theorem, the Girsanov theorem, and results concerning the Itô integral. We also establish the existence of an equity premium and a CAPM relationship in this probability-free setting.

연구 동기 및 목표

• 연속시간 마팅게일 이론에 대해 엄밀하고 확률론적 가정이 없는 기초를 마련하는 것.
• 확률적 과정이나 확률 측도를 가정하지 않고 초마팅게일, 마팅게일, 세미마팅게일을 정의하는 것.
• 두빈-슈바르츠 정리와 기르산오프 정리와 같은 고전적 결과들의 경로 기반 대응형을 수립하는 것.
• 연속적인 가격 경로와 자본 과정만을 사용하여 게임 이론적 주식 프리미엄과 CAPM 관계를 도출하는 것.
• 핵심 확률론적 결과들(예: 반복 로그 법칙, 중심극한정리)이 이 프레임워크에서 경로 기반 부등식으로 어떻게 유도되는지 보여주는 것.

제안 방법

• 표본 공간을 [0, ∞)에서 연속적인 실수값 함수의 J-튜플의 집합으로 정의하여 가격 및 정보 경로를 표현한다.
• 정지 시간과 유한한 베팅을 가진 단순 거래 전략을 도입하고, 이는 이산 시간 수익을 통해 연속적이고 적응적인 자본 과정을 생성한다.
• 비음수 초마팅게일을 비음수 단순 자본 과정을 포함하는 가장 작은 liminf-폐쇄된 클래스로 정의한다.
• 국소 시간이 잘 정의되고 국소 시간 및 이차변동을 통한 경로 기반 마팅게일 성질을 만족하는 과정으로 연속 마팅게일을 정의한다.
• 정보 과정 I의 국소 시간을 통해 정의된 연속 I-마팅게일 개념을 사용하여 경로 기반의 스토크래틱 적분과 지수 마팅게일의 대응형을 구성한다.
• 경로 기반 국소 시간과 반복 로그 법칙을 적용하여 측도론적 확률 없이도 확률적 극한 정리와 유사한 부등식을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 확률 측도를 가정하지 않고도 연속 마팅게일에 대한 완전한 이론을 개발할 수 있는가?
• RQ2 두빈-슈바르츠 정리와 기르산오프 정리와 같은 고전적 결과들이 경로 기반의 확률론적 배제된 프레임워크에서 재구성될 수 있는가?
• RQ3 확률론적 가정 없이 연속시간 시장에서 게임 이론적 주식 프리미엄이 존재하는가?
• RQ4 기대값이 아닌 국소 시간과 이차변동의 경로 기반 결과로 CAPM을 도출할 수 있는가?
• RQ5 연속 I-마팅게일의 집합이 측도론적 의미에서 연속 국소 마팅게일의 집합과 일치하는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 논문은 두빈-슈바르츠 정리의 확률론적 배제된 형태를 수립하여, 모든 연속 국소 마팅게일이 경로 기반으로 브라운 운동으로 시간을 재조정할 수 있음을 보였다.
• 기르산오프 정리의 경로 기반 형태가 증명되었으며, 측도의 변화가 확률 측도 없이도 시계와 국소 시간의 변화를 통해 달성될 수 있음을 보였다.
• 과정 $ \exp\left(\epsilon(M^{S}_{t}-\Sigma^{S,I}_{t}) - \frac{\epsilon^2}{2}\Sigma^{S}_{t}\right) $ 가 연속 I-마팅게일임을 보였다. 이는 경로 기반 설정에서 지수 마팅게일을 일반화한 것이다.
• 부등식 $ \overline{\mathbb{P}}^{I}\left\{ \left| M^{S}_{\tau_T} - \Sigma^{S,I}_{\tau_T} \right| \geq z_{\delta/2}\sqrt{T} \right\} \leq \delta $ 를 통해 중심극한정리를 도출하였으며, 이는 $ \tau_T := \inf\{t : \Sigma^{S}_{t} \geq T\} $ 에 대해 유효하다.
• 반복 로그 법칙이 경로 기반으로 복원되었다: $ \Sigma^{S}_{t} \to \infty \Rightarrow \limsup_{t\to\infty} \frac{ |M^{S}_{t} - \Sigma^{S,I}_{t}| }{ \sqrt{2\Sigma^{S}_{t} \ln \ln \Sigma^{S}_{t}} } = 1 $ 이 게임 이론적 확률 측도 하에 거의 확실히 성립한다.
• CAPM은 경로 기반 부등식으로 재구성되었다: $ \Sigma^{I}_{t} \gg 1 $ 일 때 $ M^{S}_{t} \approx \Sigma^{S,I}_{t} $ 이며, 주식 프리미엄은 정보 과정의 국소 시간에서 유래한다.