[논문 리뷰] Towards a renormalization theory for quasi-periodically forced one dimensional maps II. Asymptotic behavior of reducibility loss bifurcations

Pau Rabassa, Àngel Jorba외 1명|arXiv (Cornell University)|2011. 12. 20.

Quantum chaos and dynamical systems참고 문헌 9인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 1차원 재규격화 이론을 준주기적으로 강제되는 1차원 사상으로 확장하여, 주기 두배 분기의 연속에서 재규격화 상실 분기의 점근적 행동을 분석한다. 이는 연속적인 분기 간격의 비율이 페일렌바움 상수 δ ≈ 4.669로 수렴함을 증명하며, 수렴 속도는 준주기적 결합의 푸리에 계수에 의존함을 보여, 강제 설정에서의 보편성을 확립한다.

ABSTRACT

In this paper we are concerned with quasi-periodic forced one dimensional maps. We consider a two parametric family of quasi-periodically forced maps such that the one dimensional map (before forcing) is unimodal and it has a full cascade of period doubling bifurcations. Between one period doubling and the next one it is known that there exist a parameter value where the $2^n$-periodic orbit is superatracting. In a previous work we proposed an extension of the one-dimensional (doubling) renormalization operator to the quasi-periodic case. We proved that, if the family satisfies suitable hypotheses, the two parameter family has two curves of reducibility loss bifurcation around these parameter values. In the present work we study the asymptotic behavior of these bifurcations when $n$ grows to infinity. We show that the asymptotic behavior depends on the Fourier expansion of the quasi-periodic coupling of the family. The theory developed here provides a theoretical explanation to the behavior that can be observed numerically.

연구 동기 및 목표

• 1차원 재규격화 이론을 준주기적으로 강제되는 1차원 사상으로 확장하기.
• 안정 궤도의 주기가 무한대에 접근함에 따라 재규격화 상실 분기의 점근적 행동을 분석하기.
• 강제 사상의 분기도에서 관찰된 자가유사성과 보편성에 대한 이론적 설명을 제공하기.
• 분기 간격의 수렴 속도가 준주기적 결합의 푸리에 전개에 의존한다는 것을 입증하기.

제안 방법

• 디오판틴 주파수를 가진 두 매개변수 가중치 가족을 통해 1차원 이중화 재규격화 연산자를 준주기적 설정으로 적응시킴.
• 재규격화 연산자가 사상의 공간에 작용하도록 동치 기반 접근법을 사용하여 동역학을 축소함.
• 초점 궤도 근처에서 재규격화 상실 곡선의 행동을 분석하기 위해 점근적 등가성과 섭동 기법을 적용함.
• 분기 간격의 스케일링을 연구하기 위해 재규격화 연산자의 도함수의 스펙트럼 분석을 활용함.
• 분기 방향을 주요 및 섭동 성분으로 분해하여 연속적인 분기 너비의 비율을 추정함.
• 이전 연구에서 수치적 증거로 지지되는 선형화된 재규격화 연산자의 스펙트럼 성질에 대한 추측에 의존함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 준주기적으로 강제되는 사상에서 안정 궤도의 주기가 증가함에 따라 재규격화 상실 분기의 행동은 점근적으로 어떻게 되는가?
• RQ2 준주기적 설정에서 연속적인 분기 간격의 비율이 페일렌바움 상수 δ로 수렴하는가, 그리고 만약 그렇다면 어떤 조건에서 그러한 수렴이 이루어지는가?
• RQ3 점근적 스케일링은 준주기적 결합 함수의 푸리에 전개에 얼마나 의존하는가?
• RQ4 이론적 프레임워크는 강제 사상의 수치적 분기도에서 관찰된 보편성과 자가유사성을 설명할 수 있는가?
• RQ5 선형화된 재규격화 연산자의 스펙트럼 성질이 분기 간격의 수렴 속도를 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 연속적인 재규격화 상실 분기 간격의 비율은 페일렌바움 상수 δ ≈ 4.669로 수렴하며, 준주기적 설정에서의 보편성을 확인한다.
• 분기 간격 비율의 수렴 속도는 준주기적 결합 함수의 푸리에 계수에 의해 결정된다.
• 분기 곡선의 점근적 행동은 선형화된 재규격화 연산자의 스펙트럼 성질, 특히 주요 고유값에 의해 결정된다.
• 연속된 수준에서 분기 곡선의 도함수 비율은 점근적으로 δ⁻¹과 등가적이며, 보정 항이 O(ρⁿ)의 순서로 나타나며, 0 < ρ < 1이다.
• 결합 함수의 섭동은 분기 비율에 유한한 편차를 유도하며, 이 편차는 섭동의 크기 η와 스펙트럼 갭에 의해 제어된다.
• 이론적 예측은 수치적 관측과 일치하며, 준주기적으로 강제되는 사상에 대한 제안된 재규격화 프레임워크의 타당성을 검증한다.