[논문 리뷰] Towards a Simulation of Quantum Computers by Classical Systems

Z. Haba, H. Kleinert|arXiv (Cornell University)|2001. 06. 16.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 흰 잡음이 포함된 확률적 미분 방정식에 의해 지배되는 두 차원 이동장에 의해 양자 조화 진동자의 역학을 시뮬레이션하는 고전적 확률 모델을 제안한다. 복소장의 실수부와 허수부를 파동함수 성분으로 매핑함으로써, 이 모델은 고전적 역학에서 양자 조화 진동자의 이산 에너지 스펙트럼을 유도하며, 조화 함수에 기반한 리카티 유형의 포텐셜 구성으로 임의의 포텐셜으로 일반화된다.

ABSTRACT

We present a two-dimensional classical stochastic differential equation for a displacement field of a point particle in two dimensions and show that its components define real and imaginary parts of a complex field satisfying the Schroedinger equation of a harmonic oscillator. In this way we derive the discrete oscillator spectrum from classical dynamics. The model is then generalized to an arbitrary potential. This opens up the possibility of efficiently simulating quantum computers with the help of classical systems.

연구 동기 및 목표

• 양자 시스템의 이산 에너지 스펙트럼을 시뮬레이션할 수 있는 고전적 시스템을 개발하기 위해.
• 이전의 고전적 모델들이 하한이 없는 에너지 스펙트럼을 갖는 한계를 극복하기 위해.
• 양자역학, 특히 그 스펙트럼이 고전적 확률적 역학에서 유도될 수 있음을 보여주기 위해.
• 조화 함수에 기반한 리카티 방정식을 통해 포텐셜을 표현함으로써 모델을 임의의 포텐셜로 일반화하기 위해.
• 양자 컴퓨터를 양자 얽힘 붕괴 문제를 우회하면서 고전적 시스템을 사용해 시뮬레이션할 수 있는지 탐색하기 위해.

제안 방법

• 이동장 u(x,t)에 대해 두 차원 고전적 확률적 미분 방정식을 정의하며, 동역학은 회전 흐름과 (1,1) 방향의 흰 잡음에 의해 구동된다.
• 이동장 성분은 코시-리만 방정식을 만족하여 해석적 구조를 확보하며, 노이즈는 평균이 0이고 델타 상관 함수 ⟨η(t)η(t′)⟩ = ℏδ(t−t′)를 갖는다.
• 노이즈 평균화는 평균 이동장에 대해 포커-플랑크 유형의 방정식을 도출하며, 이는 복소장 변환 후 슈뢰딩거 유사 방정식을 만족함을 보여준다.
• 복소장 ψ(x,t) = e^{−S¹(x)/ℏ}[ū¹(x,t) + iū²(x,t)] 가 도입되며, 여기서 S¹(x)는 조화 함수이고, 이 복소장은 리카티 방정식으로부터 유도된 포텐셜 V(x)를 갖는 시간에 의존하는 슈뢰딩거 방정식을 만족한다.
• 조화 함수를 일반 S¹(x)로 대체함으로써 모델은 임의의 포텐셜로 일반화되며, 이는 V(x) = ½(∂ₓS¹)² − (ℏ/2)∂ₓ²S¹로 표현된다.
• 노이즈는 또한 무작위 초기 조건을 갖는 고전적 조화 진동자의 합으로 모델링되며, 연속 근사에서 필요한 흰 잡음 상관관계를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고전적 확률적 시스템이 양자 조화 진동자의 이산 에너지 스펙트럼을 재현할 수 있는가?
• RQ2 제안된 모델이 이전의 고전적 유사 모델에서 나타나는 하한이 없는 스펙트럼 문제를 피하는가?
• RQ3 적절한 변환을 통해 임의의 포텐셜에 대한 슈뢰딩거 방정식이 고전적 확률적 역학에서 도출될 수 있는가?
• RQ4 단지 고전적 노이즈와 결정론적 역학만을 사용하여 양자 파동함수와 그 시간에 따른 진화를 시뮬레이션할 수 있는가?
• RQ5 양자역학의 측정 공리가 이러한 고전적 확률적 프레임워크에서 도출될 수 있는가?

주요 결과

• 평균 이동장 ū(x,t)는 시간에 의존하지 않는 연산자  Ĥ에 의해 구동되며, 이는 복소장 ψ(x,t)에 대해 슈뢰딩거 유사 역학을 생성한다.
• 조화 진동자에 대해 포텐셜 V(x)는 S¹(x) = ωx²/2를 사용하여 V(x) = ½(∂ₓS¹)² − (ℏ/2)∂ₓ²S¹로 복구되며, 이는 표준 조화 진동자 스펙트럼을 제공한다.
• 이 모델은 이산 에너지 스펙트럼과 기본 상태를 성공적으로 생성하여 이전의 고전적 모델에서 나타나는 무한히 낮아지는 스펙트럼 문제를 해결한다.
• 복소장 ψ(x,t)는 슈뢰딩거 방정식 iℏ∂ₜψ = [−(ℏ²/2)∂ₓ² + V(x)]ψ를 만족함으로써 양자역학적 행동을 확인한다.
• 노이즈 소스 η(t)는 무작위 초기 조건을 갖는 고전적 조화 진동자의 합으로 대체될 수 있으며, 이는 연속 근사에서 필요한 흰 잡음 상관관계를 도출한다.
• 조화 함수 S¹(x)에서 유도된 리카티 유형의 포텐셜 구성으로 인해 모델은 임의의 포텐셜로 일반화되며, 이는 모든 양자 포텐셜 문제의 고전적 시뮬레이션을 가능하게 한다.