[논문 리뷰] Towards a theory of local Shimura varieties

Michael Rapoport, Eva Viehmann|arXiv (Cornell University)|2014. 01. 13.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 86인용 수 82

한 줄 요약

이 논문은 $p$-진 국소 쇤부르 스킴—지역 쇤부르 자료 $(G,[b],\{\mu\})$ 와 관련된 강체 해석적 공간의 계열(타워)인—고전적인 전 세계 쇤부르 스킴 이론을 확장하는 이론을 주장한다. 이러한 공간들은 라포포르트-지크 스킴에 기반하여, $G(\mathbb{Q}_p)$, $J(\mathbb{Q}_p)$, 그리고 윌 군 $W_E$의 일致한 작용을 지닌다. 이들의 코homology는 국소 랭글랜드 대응을 실현하며, $\ell$-진 코homology에 대한 추측—특히 코트비츠 및 하리스 추측—을 제시한다.

ABSTRACT

This is a survey article that advertizes the idea that there should exist a theory of p-adic local analogues of Shimura varieties. Prime examples are the towers of rigid-analytic spaces defined by Rapoport-Zink spaces, and we also review their theory in the light of this idea. We also discuss conjectures on the $\ell$-adic cohomology of local Shimura varieties.

연구 동기 및 목표

• 국소 쇤부르 스킴의 $p$-진 국소 이론에 대한 개념적 프레임워크를 구축함으로써 고전적인 전 세계 이론과 유사하게 하기.
• 더 넓은 기하학적 및 군론적 원리 아래 라포포르트-지크 스킴 이론을 통합하기.
• 이러한 국소 쇤부르 스킴의 $\ell$-진 코homology에 대한 추측을 제시하기, 특히 코트비츠 및 하리스 추측을 포함하여.
• 표현 이론에서 $\sigma$-중앙화 군 $J(\mathbb{Q}_p)$와 윌 강하의 역할을 코homological 실현에서 탐색하기.
• 모듈러 이론적 기원을 제거하고, 더 본질적인 군론적 관점에서 RZ-스킴 이론을 재구성하기.

제안 방법

• 재수정된 군 $G$ over $\mathbb{Q}_p$, $\sigma$-동치류 $[b]$, 그리고 코캐릭터 동치류 $\{\mu\}$에 대한 공리 체계를 갖춘 국소 쇤부르 자료를 정의하는 것.
• 국소 쇤부르 스킴을 $\breve{E}$ 위의 강체 해석적 공간 타워 $\{\mathbb{M}^K\}$로 정의하며, $G(\mathbb{Q}_p)$, $J(\mathbb{Q}_p)$, 그리고 윌 군 $W_E$의 일致한 작용을 갖는다.
• 레벨 구조를 갖춘 $p$-나누어지는 군의 모듈러 문제를 해결하는 형식 스킴의 일반화된 근을 통해 타워를 구성한다.
• 모든 군 작용에 대해 등변성을 갖는 주의 대상으로 주기 영역 $\breve{\mathcal{F}}(G,b,\{\mu\})$ 를 사용한다.
• 코homological 추측을 도입: 기본 $[b]$에 대해 코트비츠 추측, 비기본 $[b]$에 대해 하리스 추측.
• 퍼패르티드 스킴 이론과 파르그-퐁타인 곡선 이론을 적용하여, 형식 스킴을 거치지 않고 직접 일반화된 근에서 타워를 실현할 가능성을 고려한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 형식 스킴을 먼저 구축하지 않고도, 국소 쇤부르 스킴을 직접 강체 해석적 공간의 타워로 구성할 수 있는가?
• RQ2 이러한 국소 쇤부르 스킴의 $\ell$-진 코homology 군이 $G(\mathbb{Q}_p)$, $J(\mathbb{Q}_p)$, $W_E$의 동시에 작용을 통해 국소 랭글랜드 대응을 어떻게 실현하는가?
• RQ3 국소 쇤부르 스킴의 코homology와 $p$-진 군의 표현 이론 사이의 정확한 관계는 무엇인가, 특히 초임계표현의 경우에 대해?
• RQ4 언제 $[b]$가 기본이 아닐 경우, 국소 쇤부르 스킴의 코homology가 하리스 추측에 따라 분해되는가?
• RQ5 라포포르트-지크 스킴 이론을 모듈러 해석을 벗어나 순수한 군론적 관점에서 재해석할 수 있는가?

주요 결과

• 코트비츠 추측은 $[b]$가 기본일 경우 $\ell$-진 코homology의 이산 부분을 기술하며, 코homology가 이산 시리즈 표현과 연결됨을 보여준다.
• 하리스 추측은 비기본 케이스에서 코homology를 더 작은 리 군의 부분군에 대한 코homology의 합으로 표현하는 인도적 공식을 제공한다. 이는 $\{\mu'\}_L \in I_{b,\{\mu\},L}$ 에 대해 표현된다.
• 만토반의 정리 8.11은 비분할 단순 정수 RZ-자료에 대해 하리스 추측을 확인하며, $G$-타워의 코homology가 $L$-타워의 코homology에서 유도됨을 보여준다.
• 정리 8.8은 $\{\mu'\} \in I^{G}_{b,\{\mu\},L}$ 이면, 조건이 만족될 경우 $\{\mu'\}_L$ 의 $L$-다수성 표현이 $\{\mu\}_L$ 의 $L$-다수성 표현과 일치함을 증명한다.
• RZ 공간 위의 $p$-나누어지는 군에 대한 기울기 분해가 하리스 추측을 충족하는 데 충분하며, 신의 작업을 통해 이는 이제 일반적으로 성립함이 알려져 있다.
• 논문은 이전 문헌의 오류를 수정하며, $|I^{G}_{b,\{\mu\},L}| = 1$ 이 일반적으로 성립하지 않음을 보이고, 올바른 조건은 $\{\mu'\}_L \in I_{b,\{\mu\},L}$ 가 존재하여 $\mu'_{L-\text{dom}} = \mu_{\text{dom}}$ 가 성립함을 보여준다.