[논문 리뷰] Towards Automatic Stress Analysis using Scaled Boundary Finite Element Method with Quadtree Mesh of High-order Elements

Hou Man, Chongmin Song외 3명|arXiv (Cornell University)|2014. 02. 21.

Numerical methods in engineering참고 문헌 27인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 고차원 요소를 사용하는 쿼드트리 메esh와 함께 스케일드 바이어리 편미분 유한요소법(SBFEM)을 사용한 자동 응력 및 균열 분석 프레임워크를 제시한다. 쿼드트리 셀을 고차원 다각형 요소로 모델링함으로써 허니콤 노드 문제를 제거하고, 보완 없이도 응력 특이점을 정확히 포착함으로써 완전히 자동화된 메쉬 생성과 최소한의 사용자 입력으로 높은 수렴성과 높은 정확도를 확보하여 균열 및 곡선 경계 모델링에 유리하다.

ABSTRACT

This paper presents a technique for stress and fracture analysis by using the scaled boundary finite element method (SBFEM) with quadtree mesh of high-order elements. The cells of the quadtree mesh are modelled as scaled boundary polygons that can have any number of edges, be of any high orders and represent the stress singularity around a crack tip accurately without asymptotic enrichment or other special techniques. Owing to these features, a simple and automatic meshing algorithm is devised. No special treatment is required for the hanging nodes and no displacement incompatibility occurs. Curved boundaries and cracks are modelled without excessive local refinement. Five numerical examples are presented to demonstrate the simplicity and applicability of the proposed technique.

연구 동기 및 목표

• 구조역학 분야의 응력 및 균열 문제에 대한 완전 자동 메쉬 생성 및 분석 기법을 개발하는 것.
• 쿼드트리 기반 유한요소 해석에서의 허니콤 노드 문제와 곡선 경계 피팅 과제를 해결하는 것.
• 균열 끝 모델링 시 특수 형상함수, 부분삼각형 분할 또는 점근적 보완이 필요 없도록 하는 것.
• 최소한의 사용자 정의 매개변수로 고차원 정확도와 빠른 수렴성을 확보하는 응력 및 균열 분석을 실현하는 것.
• 이 방법의 복잡한 기하구조, 특히 균열과 곡선 경계를 포함한 경우의 강건성과 효율성을 입증하는 것.

제안 방법

• 메소드는 스케일드 바이어리 편미분 유한요소법(SBFEM)을 활용하여 쿼드트리 셀을 임의의 변을 가진 고차원 다각형 요소로 모델링한다.
• 허니콤 노드 문제는 다각형 요소의 정점으로 간주함으로써 자연스럽게 처리되어 변위 불일치 문제를 방지한다.
• 곡선 경계와 균열 끝은 스케일드 바이어리 다각형을 사용해 표현함으로써 과도한 메쉬 밀도 조정이 필요 없어진다.
• 고차원 형상함수를 각 쿼드트리 셀에 직접 적용함으로써 정확한 응력 표현과 높은 수렴 속도를 달성한다.
• 메쉬 생성은 완전 자동이며, 농도 조절을 위한 시드 포인트만 필요로 하며, 균열 끝에 특수 처리가 필요 없다.
• 쿼드트리의 계층적 구조를 활용하여 필요한 셀만 계산함으로써 스텐스 매트릭스를 효율적으로 조립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 쿼드트리 메쉬가 허니콤 노드 문제를 유발하지 않고 FEA에 효과적으로 사용될 수 있는가?
• RQ2 SBFEM에서 고차원 다각형 요소가 점근적 보완 없이도 균열 끝의 응력 특이점을 정확히 모델링할 수 있는가?
• RQ3 최소한의 사용자 입력으로 곡선 경계와 특이점을 유지하면서도 고정밀도를 확보할 수 있는 자동 메쉬 생성이 가능한가?
• RQ4 유사한 메쉬 밀도를 가진 표준 FEM과 비교해 본다면 제안된 방법의 수렴 속도는 어떻게 되는가?
• RQ5 이 방법은 최소한의 계산 비용으로 복잡한 공학 문제, 예를 들어 균열이 있는 원자로를 효과적으로 처리할 수 있는가?

주요 결과

• 이중균열 플레이트의 경우 2차와 5차 요소 간의 차이가 0.04% 미만으로 나타나 수렴 속도가 매우 빠름을 확인함.
• 균열이 있는 원자로 예제에서 2차와 5차 요소 간의 균열 개방 변형률 차이가 0.1% 미만이었으며, 고차원 요소의 높은 정확도를 확인함.
• 반도체 원자로의 160셀 쿼드트리 메쉬 생성 시간은 0.8초 이내였고, 5차 요소를 사용한 해석 시간은 0.7초 미만이었음.
• 다각형 요소가 정점 기반 공식화를 통해 자연스럽게 허니콤 노드를 수용하므로 특수 처리가 필요 없었음.
• 고차원 요소의 사용으로 과도한 局부 메쉬 조정 없이도 정확한 곡선 경계 표현이 가능해져 필요한 셀 수를 감소시킴.
• 스텐스 매트릭스 계산은 총 160개 셀 중 44개만 필요로 하여 계산의 확장성을 입증함.