[논문 리뷰] Towards Completely Characterizing the Complexity of Boolean Nets Synthesis

Ronny Tredup, Christian Rosenke|arXiv (Cornell University)|2018. 06. 10.

Formal Methods in Verification참고 문헌 4인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 여덟 가지 기본 상호작용(nop, inp, out, set, res, swap, used, free)에서 유도된 256가지 가능한 넷 유형 전역에서 부울 넷 합성의 계산 복잡도를 종합적으로 분석한다. 단조적 one-in-three 3-SAT 문제로부터 일반화된 감소 기법을 통해 77개의 넷 유형에 대해 NP-완전성을 입증하고, 별도의 감소를 통해 추가로 7개의 NP-난이도 유형을 규명하며, (nop, swap) 및 (nop, set)/(nop, res)에 (out, used, free)의 부분집합을 추가한 36개의 다루기 쉬운 유형에 대해 다항시간 합성 알고리즘을 제시한다.

ABSTRACT

Boolean nets are Petri nets that permit at most one token per place. Research has approached this important subject in many ways which resulted in various different classes of boolean nets. But yet, they are only distinguished by the allowed interactions between places and transitions, that is, the possible effects of firing transitions. There are eight different interactions: no operation (nop), input (inp), output (out), set, reset (res), swap, test of occupation (used), and test of disposability (free). Considering every combination for a possible net class yields 256 boolean classes in total. The synthesis problem for a particular class is to take an automaton A and compute a boolean net of that class that has a state graph isomorphic to A. To the best of our knowledge, the computational complexity of this problem has been analyzed for just two of the 256 classes, namely elementary nets systems (nop, inp, out), where the problem is NP-hard, and flip-flop nets (nop, inp, out, swap), which are synthesizable in polynomial time. However, depending on the desired net features, like read-only places, exception handling, or hierarchy, one has to synthesize nets with other interactions as for instance contextual nets (nop, inp, out, used, free) or trace nets (nop, inp, out, set, res, used, free). The contribution of this paper is a thorough investigation of the synthesis complexity for the 128 boolean net classes that allow nop. Our main result is a general proof scheme that identifies 77 NP-hard cases. All remaining 51 classes are shown to be synthesizable in polynomial time where 35 of them turn out to be trivial.

연구 동기 및 목표

• 기본 상호작용 여덟 가지에서 유도된 256가지 가능한 상호작용 기반 넷 유형 전역에서 부울 넷 합성의 계산 복잡도를 완전히 규명하는 것.
• 다른 넷 유형이 다항시간 합성 가능하고, 어떤 것은 NP-완전인지 규명함으로써 레이블된 전이 시스템을 해당 넷 구조로 변환하는 가능성에 초점을 맞추는 것.
• 초기 넷 시스템을 초월해 넓은 범위의 넷 유형에 대해 NP-난이도를 증명하기 위한 일반화된 감소 기법을 개발하는 것.
• 합성 복잡도가 여전히 미해결인 여덟 가지 사례를 식별하고 분석하는 것. 특히 (nop, inp, [used]), (nop, out, [free]), (nop, set, res), (nop, swap)에 set/res가 포함된 경우에 대해 중점적으로 다룸.
• 이전에 다루지 않은 20개의 다루기 쉬운 넷 유형에 대해 새로운 다항시간 합성 알고리즘을 제시하는 것. (nop, set) 및 (nop, res)에 (out, used, free)를 추가한 확장 유형 포함.

제안 방법

• 단조적 one-in-three 3-SAT 문제를 77개의 넷 유형에 대해 이벤트 상태 분리 성질(ESSP)로 일반화된 감소 기법을 제안함으로써, 타당성 문제의 NP-완전성을 입증하고, 이는 합성의 NP-난이도를 의미한다.
• 타당성과 상태 분리 성질(SSP) 및 ESSP의 논리적 합성 간의 등가성을 활용하여 합성 문제를 전이 시스템에 대한 결정 문제로 환원한다.
• swap을 제외한 (nop, inp, out)의 초집합, (nop, inp, set) 또는 (nop, out, res)의 초집합, 그리고 (nop, swap)에 (set, res) 또는 (inp, out, used, free) 중 적어도 하나를 추가한 확장 유형에 대해 통일된 감소 패tern을 적용한다.
• (nop, set)에 (out, used, free)의 부분집합을 조합한 16개 유형과 (nop, res)에 (inp, used, free)의 부분집합을 조합한 16개 유형에 대해 새로운 다항시간 합성 알고리즘을 개발하며, 이는 Schmitt의 (nop, swap) 확장에 대한 접근 방식을 일반화한 것이다.
• 기술적 보조정리와 영역 기반 분석을 활용해 부울 공식에서 유도된 복잡한 가젯 전이 시스템의 SSP 및 ESSP를 검증함으로써 감소의 정확성을 확보한다.
• 일반 감소나 다항시간 알고리즘 적용에 구조적 제약이 존재하여 여덟 개의 넷 유형이 아직 미해결로 남아 있으며, 결론에서 이들의 본질적 과제를 논의한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 256가지 가능한 부울 넷 유형 중 어떤 것은 다항시간 합성 가능하고, 어떤 것은 NP-완전인가?
• RQ2 초기 넷 시스템을 초월해 넓은 범위의 부울 넷 유형에 대해 NP-난이도를 증명할 수 있는 일반화된 감소 기법을 개발할 수 있는가?
• RQ3 합성 알고리즘을 효율적으로 구현할 수 있도록 하는 넷 유형의 구조적 특성은 무엇인가?
• RQ4 특히 (nop, set, res) 또는 (nop, swap)에 set/res가 포함된 일부 넷 유형이 일반 감소 기법과 다항시간 알고리즘 접근 모두에 저항하는 이유는 무엇인가?
• RQ5 미해결 복잡도 사례가 향후 넷 합성 및 형식적 방법 분야 연구에 미치는 영향은 무엇인가?

주요 결과

• 논문은 단조적 one-in-three 3-SAT 기반의 통합 감소 기법을 통해 77개의 부울 넷 유형에 대해 NP-완전성을 입증하며, 이는 이전의 초기 넷 시스템에 대한 NP-난이도 증명을 크게 일반화한다.
• 별도의 감소 패턴을 통해 추가로 7개의 넷 유형이 NP-난이도임을 입증하였다. 이는 (nop, set, res)에 used 또는 free를 추가한 경우, (nop, inp, free, [used]) 및 (nop, out, used, [free])를 포함한다.
• 다항시간 합성은 36개의 넷 유형에서 달성되었다: (inp, out, used, free)의 부분집합을 추가한 (nop, swap)의 16개 확장, (out, used, free)를 조합한 (nop, set)의 16개 유형, 그리고 (used, free)를 추가한 (nop)의 4개 단순 사례.
• 여덟 개의 넷 유형에서 합성 복잡도는 여전히 미해결 상태이다: (nop, inp, [used]), (nop, out, [free]), (nop, set, res), (nop, swap)에 set 또는 res가 포함된 경우. 이는 기존 방법 적용에 구조적 제약이 존재하기 때문이다.
• 저자들은 결정론적 부울 넷에 대해 여덟 가지 기본 상호작용만 존재함을 입증하며, 이로써 부울 넷 유형의 전체 가족이 256가지 조합으로 완전히 제약됨을 보였다.
• 본 연구는 Schmitt의 플립플롭 넷에 대한 접근 방식이 (inp, out, used, free)를 추가한 (nop, swap)의 모든 16개 확장으로 일반화될 수 있음을 확인하며, 이 전체 유형에 대해 다항시간 합성 가능함을 입증하였다.