[논문 리뷰] Towards Efficient Calculation of Information Measures for Reordering of Binary Decision Diagrams

Denis V. Popel|ArXiv.org|2002. 07. 05.

Formal Methods in Verification참고 문헌 6인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 확률 전파를 통해 BDD를 하향식으로 순회함으로써 샤논 정보 측도—예를 들어 엔트로피와 조건부 엔트로피—를 효율적으로 계산하는 새로운 BDD 기반 알고리즘을 제안한다. 이 방법은 조건부 엔트로피를 최소화하는 새로운 재정렬 전략(InfoR)을 가능하게 하여 BDD 크기를 줄이고, 저전력 회로 설계에서 최대 1.5배의 전력 소모 감소를 이룬다.

ABSTRACT

This paper introduces new technique for efficient calculation of different Shannon information measures which operates Binary Decision Diagrams (BDDs). We offer an algorithm of BDD reordering which demonstrates the improvement of the obtaining outcomes over the existing reordering approaches. The technique and the reordering algorithm have been implemented, and the results on circuits' benchmarks are analyzed. We point out that the results are quite promising, the algorithm is very fast, and it is easy to implement. Finally, we show that our approach to BDD reordering can yield to reduction in the power dissipation for the circuits derived from BDDs.

연구 동기 및 목표

• BDD에서 직접 정보 측도(엔트로피, 조건부 엔트로피)를 계산하는 효율적인 기법을 개발하는 것.
• 정보 이론 기반 기준에 기반한 BDD 재정렬 알고리즘을 설계하여 함수 복잡도를 최소화하는 것.
• 이 재정렬이 디지털 회로에서 BDD 크기와 전력 소모에 미치는 영향을 평가하는 것.
• 정보 기반 재정렬이 저전력 회로 합성에 실용적으로 유리한 점을 입증하는 것.

제안 방법

• 변수 할당 하에 함수 값의 확률을 계산하기 위해 BDD의 하향식 순회를 제안한다.
• 잎에서 루트로의 확률 전파를 사용하여 각 변수에 대해 P(f=1|x=0)와 P(f=1|x=1)를 계산한다.
• 정리 1을 적용하여 공식 H(f|xi) = P(xi=0)·H(f|xi=0) + P(xi=1)·H(f|xi=1)를 사용해 각 변수 xi에 대해 조건부 엔트로피 H(f|xi)를 계산한다.
• 각 단계에서 H(f|xi)가 최소인 변수를 선택하는 탐욕적 재정렬 전략을 적용하여 정보량을 최소화한다.
• 오름차순 조건부 엔트로피 값에 의해 결정된 새로운 변수 순서를 사용해 BDD를 재구성한다.
• 실험적 평가를 위해 ISCAS 벤치마크에 대해 CUDD BDD 패키지에 이 방법을 통합한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 입력 패턴을 명시적으로 열거하지 않고도 BDD를 사용하여 엔트로피 및 조건부 엔트로피와 같은 정보 측도를 효율적으로 계산할 수 있는가?
• RQ2 기존 재정렬 방법과 비교해 조건부 엔트로피 H(f|xi)를 최소화하면 더 작은 BDD를 얻을 수 있는가?
• RQ3 정보 이론 기반 기준에 기반한 BDD 재정렬이 유도된 회로에서 동적 전력 소모를 줄일 수 있는가?
• RQ4 창문, 유전적, 필터링 재정렬 방법과 비교해 제안된 InfoR 알고리즘이 성능과 BDD 크기 측면에서 어떻게 성능을 내는가?

주요 결과

• InfoR 알고리즘은 여러 벤치마크에서 BDD 크기를 줄였다: 예를 들어 S1423는 98,454개에서 73,680개의 노드로 감소했고, S349는 206개에서 141개의 노드로 감소했다.
• C1908의 경우, InfoR는 다른 방법들(36,007개 노드)보다 더 큰 BDD(65,032개 노드)를 생성하여 성능이 사례에 따라 다름을 보였다.
• 최적의 변수 순서(최소 조건부 엔트로피 기반)를 사용할 경우, 전력 소모가 최대 1.5배 감소(45.0 µW에서 31.87 µW로)하였다.
• 이 방법은 단일 BDD 순회를 통해 정보 측도를 효율적으로 계산할 수 있어 대규모 회로에 대해 확장 가능하다.
• 이 방법은 빠르며 구현이 간편하며 저전력 회로 설계에 유망한 가능성을 보였다.
• 조건부 엔트로피 값은 변수 순서 결정의 직접적인 기준으로 사용되었으며, H(f|x1)=0.41 bit이고 H(f|x2)=H(f|x3)=0.91 bit로 x1이 먼저 순서를 정하는 데 가장 정보가 많은 변수임을 나타냈다.