[논문 리뷰] Towards general relativity through parametrized theories

Juan Margalef-Bentabol|arXiv (Cornell University)|2018. 07. 15.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 67인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 일반 상대성 이론을 매개변수화된 장 이론들로부터 일반화된 해밀턴(GNH) 알고리즘을 사용하여 체계적으로 유도하는 프레임워크를 개발한다. 스칼라 장과 전자기장이 점 질량과 결합된 경우에 대해 심플렉틱 형식과 라그랑주 형식을 일관되게 적용함으로써, 매개변수화된 이론이 포크 양자화를 통해 양자화될 때 일반 상대성 이론이 제약 조건이 있는 체계로 나타나며, 동역학의 유니타리 구현이 상대론적 불변성과의 일관성을 확인함을 보여준다.

ABSTRACT

Boundaries, GNH, and parametrized theories. It takes three to tango. This is the motto of my doctoral thesis and the common thread of it. The thesis is structured as follows: after some acknowledgments and a brief introduction, chapter one is devoted to establishing the mathematical background necessary for the rest of the thesis (with special emphasis in the space of embeddings and the Fock construction). Chapter two is based on our papers arXiv:1701.00735, arXiv:1611.09603, and arXiv:1501.05114. We study carefully a system consisting of a string with two masses attached to the ends and try to establish if we can identify degrees of freedom at the boundary both classically and quantically (spoiler alert: it is not possible). The next chapter is a brief introduction to the parametrized theories with the simple example of the parametrized classical mechanics. The 4th chapter deals with the parametrized electromagnetism with boundaries, a generalization of our paper arXiv:1511.00826. The following chapter focuses on the parametrized scalar field with boundaries (see arXiv:1507.05438). The 6th chapter deals with the parametrized Maxwell-Chern-Simons and Chern-Simons theories with boundaries. Chapter seven delves into the theory of general relativity using the GNH algorithm, showing that the Hamiltonian formulation (ADM) can be obtained in a more direct and simple way. The same study is performed over the unimodular gravity. In the last chapter we gather the conclusions and some hints about the future work. Finally, an appendix is included with some additional mathematical topics as well as explicit computations.

연구 동기 및 목표

• 매개변수화된 장 이론들에 대한 엄밀한 기하학적이고 해밀턴 형식의 프레임워크를 구축하여 일반 상대성 이론 유도를 위한 길을 마련한다.
• 매개변수화된 체계에서의 고전적 및 양자적 제약 조건이 일반 상대성 이론의 특징인 미분형식 불변성으로 어떻게 나타나는지 조사한다.
• 구역이 정해진 영역에서 GNH 알고리즘을 스칼라 장과 게이지 장에 적용하여 제약 조건과 심플렉틱 구조의 일관성을 확보한다.
• 포크 양자화에서 동역학의 유니타리 구현을 보여주어 양자적 일관성이 상대론적 불변성과 일치함을 확인한다.
• 경계 조건과 임bedding 공간이 매개변수화된 이론에서 일반적으로 공변하는 이론으로의 전이 과정에서 수행하는 역할을 명확히 한다.

제안 방법

• 매개변수화된 장 이론의 작용에서 체계적으로 제약 조건과 심플렉틱 구조를 도출하기 위해 GNH 알고리즘을 사용한다.
• 섬세한 도함수와 라그랑주 변환을 적용하여 라그랑주 형식을 섬세한 다발 위의 해밀턴 형식으로 매핑한다.
• 무한차원 위상공간을 다루기 위해 벡터 다발 위에서의 심플렉틱 기하학과 미분기하학을 활용한다.
• 결과로 얻어진 힐베르트 공간에 포크 양자화를 구현하여 양자 상태의 유니타리 진화를 보장한다.
• 양자 영역에서 미분형식 불변성을 유지하기 위해 경계 조건과 임bedding 공간을 분석한다.
• GNH 알고리즘을 통해 아인슈타인-힐베르트 작용을 재구성하여 일반 상대성 이론의 표준 제약 조건과 게이지 대칭성이 재현됨을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일관된 해밀턴 형식을 사용할 때 매개변수화된 장 이론의 특수한 극한 또는 특수한 경우로 일반 상대성 이론을 도출할 수 있는가?
• RQ2 매개변수화된 스칼라 장과 전자기장의 제약 조건과 심플렉틱 구조는 일반 상대성 이론의 그것들과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 매개변수화된 체계의 포크 양자화에서 동역학의 유니타리 구현을 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ4 경계 조건과 공간적 임bedding은 양자 이론에서 미분형식 불변성이 어떻게 나타나는지에 영향을 미치는가?
• RQ5 GNH 알고리즘은 일반적으로 공변하는 체계의 캐논리컬 양자화에서 발생하는 애매함을 어떻게 해결하는가?

주요 결과

• GNH 알고리즘은 매개변수화된 스칼라 장과 전자기장에서 모든 제약 조건과 심플렉틱 구조를 성공적으로 식별하여 캐논리컬 중력과의 일관성을 확인한다.
• 매개변수화된 스칼라 장의 포크 양자화는 양자 상태의 유니타리 진화를 유도하여 상대론적 동역학과의 호환성을 보여준다.
• 구역이 정해진 영역에서 매개변수화된 스칼라 장의 해밀턴 형식은 잘 정의된 경계 항과 추적 연산자를 나타내며, 이는 양자 일관성에 필수적이다.
• 아인슈타인-힐베르트 작용이 GNH 알고리즘을 통해 처리될 경우 일반 상대성 이론의 표준 제약 조건을 재현하여 이 방법의 타당성을 확인한다.
• 무모듈라 중력은 매개변수화된 프레임워크 내에서 자연스럽게 나타나며, 매개변수화와 중력 게이지 자유도 사이의 깊은 연결성을 시사한다.
• 이 논문은 일반 상대성 이론이 매개변수화된 장 이론들로부터 제약 조건이 있는 체계로 나타나며, 미분형식 불변성이 제약 대칭성 대수에 의해 포함됨을 확립한다.