[논문 리뷰] Towards Nearly-linear Time Algorithms for Submodular Maximization with a Matroid Constraint

Alina Ene, Huy L. Nguyên|arXiv (Cornell University)|2018. 11. 18.

Complexity and Algorithms in Graphs인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 매트로이드 제약 조건 하에서 단조 감소하는 부분모듈러 최대화를 위한 처음으로 거의 선형 시간 알고리즘을 제안하며, $1-1/e - \epsilon$ 근사값을 달성한다. 새로운 프레임워크를 도입하여 그래픽 매트로이드와 파artition 매트로이드에서 최대 무게 기반을 유지하는 데 빠른 데이터 구조를 활용함으로써 효율적인 스왑 연산과 수정된 연속적 그레디 방법을 통한 반올림을 가능하게 하며, $O(n \log^2 n)$ 실행 시간을 확보한다.

ABSTRACT

We consider fast algorithms for monotone submodular maximization subject to a matroid constraint. We assume that the matroid is given as input in an explicit form, and the goal is to obtain the best possible running times for important matroids. We develop a new algorithm for a \\emph{general matroid constraint} with a $1 - 1/e - \\epsilon$ approximation that achieves a fast running time provided we have a fast data structure for maintaining a maximum weight base in the matroid through a sequence of decrease weight operations. We construct such data structures for graphic matroids and partition matroids, and we obtain the \\emph{first algorithms} for these classes of matroids that achieve a nearly-optimal, $1 - 1/e - \\epsilon$ approximation, using a nearly-linear number of function evaluations and arithmetic operations.

연구 동기 및 목표

• 매트로이드 제약 조건 하에서 단조 감소하는 부분모듈러 최대화를 위한 빠른 알고리즘을 개발하는 것, 특히 거의 선형 실행 시간을 목표로 하는 것.
• 핵심 매트로이드 클래스인 그래픽 및 파artition 매트로이드에 대해 최적의 $1-1/e$ 근사값과 실용적인 실행 시간 사이의 격차를 메우는 것.
• 동적 업데이트 하에서 감소된 무게와 최대 무게 기반 유지에 대해 빠른 지원을 제공하는 효율적인 데이터 구조를 설계하는 것.
• 표현 가능한 매트로이드에 대해 거의 선형 기능 평가 및 산술 연산 횟수를 확보하면서 $1-1/e - \epsilon$ 근사값을 달성하는 것.
• 매트로이드의 구조를 활용하여 연속적 그레디 프레임워크를 거의 선형 시간 내에서 효율적으로 작동하도록 확장하는 것.

제안 방법

• 매트로이드에서 무게 감소 하에 최대 무게 기반 유지로 부분모듈러 최대화를 축소하는 새로운 알고리즘 프레임워크를 제안하는 것.
• 에ulerian 투어 트리와 레드블랙 트리를 기반으로 한 데이터 구조를 설계하여 스패닝 트리에서의 간선 삭제, 삽입 및 수축을 효율적으로 지원하는 것.
• 레드블랙 트리의 이진 탐색을 통해 스패닝 트리의 리프와 스왑할 후보 간선을 찾는 find-swap 연산을 사용하며, $O(\log^2 n)$의 분할된 시간 복잡도를 달성하는 것.
• 간선을 제거하고 인접한 정점을 수축하는 swap-and-contract 연산을 구현하며, 각 수축에 대해 $O(\deg(v) \log n)$의 분할된 시간 복잡도를 확보하는 것.
• t개의 스패닝 트리를 결합하기 위해 $t-1$번의 기반 병합 루틴 호출을 사용하는 수정된 연속적 그레디 반올림 절차를 적용하는 것. 각 병합 루틴은 $O(n \log^2 n)$ 시간이 소요된다.
• 그래픽 및 파artition 매트로이드의 구조를 활용하여 거의 선형 시간 성능을 가능하게 하는 효율적인 데이터 구조를 구축하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 매트로이드 제약 조건 하에서 단조 감소하는 부분모듈러 최대화를 거의 선형 시간 내에 $1-1/e - \epsilon$ 근사값으로 달성할 수 있는가?
• RQ2 그래픽 및 파artition 매트로이드에 대해, 무게 감소 하에 최대 무게 기반 유지에 대해 빠른 지원을 제공하는 데이터 구조를 설계할 수 있는가?
• RQ3 매트로이드 특화 구조를 활용하여 연속적 그레디 프레임워크를 거의 선형 시간 내에서 작동하도록 적응시킬 수 있는가?
• RQ4 표현 가능한 매트로이드에서 거의 최적의 근사 비율을 달성하기 위한 최소 실행 시간 오버헤드는 무엇인가?
• RQ5 높은 근사 품질을 유지하면서 기능 평가 횟수와 산술 연산 횟수를 거의 선형으로 줄일 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 알고리즘은 그래픽 및 파artition 매트로이드 제약 조건 하에서 단조 감소하는 부분모듈러 최대화에 대해 $1-1/e - \epsilon$ 근사값을 달성한다.
• 알고리즘의 실행 시간은 기반 병합 절차에서 $O(n \log^2 n)$로, 전체 복잡도를 지배한다.
• 최대 무게 기반 유지 데이터 구조는 각각 $O(\log n)$ 및 $O(\deg(v) \log n)$의 분할된 시간 복잡도로 간선 삭제, 삽입 및 수축을 지원한다.
• find-swap 연산은 에ulerian 투어 표현에서 레드블랙 트리의 이진 탐색을 수행함으로써 $O(\log^2 n)$의 분할된 시간 복잡도로 실행된다.
• t개의 스패닝 트리의 볼록 조합을 반올림하는 SwapRounding 절차는 $O(tn \log^2 n)$ 시간 내에 실행된다.
• 본 연구는 카디널리티 제약 조건을 초월하는 비트리비얼한 매트로이드 클래스에 대해 부분모듈러 최대화를 위한 처음으로 거의 선형 시간 알고리즘을 확립한다.