[논문 리뷰] Towards Solving the Navier-Stokes Equation on Quantum Computers

Navamita Ray, Tirtha Banerjee외 2명|arXiv (Cornell University)|2019. 04. 16.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 5인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 고정소수점 산술과 최소 제곱 최소화를 통해 문제를 이차형 무제약 이진 최적화(QUBO) 형식으로 변환함으로써, D-Wave와 같은 등온 양자 분해기에서 일차원 정 steady 채널 유동에 대한 임시적인 나비에-스토크스 방정식을 해결하기 위한 워크플로우를 제안한다. 주요 기여는 양자 분해기의 분포에서 유도된 가중치가 부여된 평균 및 무가중치 평균 솔루션의 성능이 최소 에너지 솔루션을 능가한다는 것을 입증한 것으로, 성능은 정밀도와 격자 해상도에 민감하게 반응하며, 유체역학 문제를 양자 분해기에 매핑한 초기 尝시 중 하나로 기록된다.

ABSTRACT

In this paper, we explore the suitability of upcoming novel computing technologies, in particular adiabatic annealing based quantum computers, to solve fluid dynamics problems that form a critical component of several science and engineering applications. We start with simple flows with well-studied flow properties, and provide a framework to convert such systems to a form amenable for deployment on such quantum annealers. We analyze the solutions obtained both qualitatively and quantitatively as well as the sensitivities of the various solution selection schemes on the obtained solution.

연구 동기 및 목표

• 등온 양자 분해기에서 유체역학 문제, 특히 나비에-스토크스 방정식을 해결할 수 있는지 탐색한다.
• D-Wave 하드웨어에 적합한 이진 변수 QUBO 문제로 실수값 PDE 이산화를 체계적으로 변환하는 워크플로우를 개발한다.
• 고전적 수치 해와 비교하여 세 가지 솔루션 추출 전략—최소 에너지, 무가중치 평균, 가중치 평균—을 평가하고 비교한다.
• 고정소수점 산술의 정밀도와 공간 이산화의 격자 해상도에 따른 양자 솔루션의 민감도를 분석한다.
• 유체역학 및 공학 분야에서 PDE로부터 유도된 선형 시스템에 양자 분해기를 적용하기 위한 기초 프레임워크를 수립한다.

제안 방법

• 공간적 방향으로는 2차 중심 차분, 시간적 방향으로는 후진 오일러를 사용하여 1차원 시간 의존 나비에-스토크스 방정식을 이산화한다.
• 가변 정밀도(2~8비트)로 설정 가능한 고정소수점 산술을 사용하여 실수값 변수를 이진 표현으로 변환한다.
• 유도된 선형 시스템을 최소 제곱 최소화 문제로 제작하여 QUBO 매핑을 가능하게 한다.
• 최소 제곱 문제를 D-Wave의 카이머 아키텍처와 호환되는 이차형 무제약 이진 최적화(QUBO) 문제로 매핑한다.
• D-Wave 양자 분해기를 사용하여 다수의 실행 동안 솔루션 분포에서 표본을 추출한다.
• 세 가지 솔루션 추출 전략을 적용한다: 가장 낮은 에너지 상태 선택, 모든 표본의 무가중치 평균 계산, 발생 빈도에 따라 가중치를 부여한 평균 계산.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 1차원 채널 유동에 대한 나비에-스토크스 방정식이 D-Wave 양자 분해기에 해석 가능한 QUBO 형식의 문제로 효과적으로 변환될 수 있는가?
• RQ2 최소 에너지, 무가중치 평균, 가중치 평균 중 어느 솔루션 추출 전략이 고전적 더블 정밀도 결과와 비교해 가장 정확한 솔루션을 도출하는가?
• RQ3 고정소수점 정밀도와 공간 격자 해상도의 변화에 따라 솔루션 정확도와 안정성은 어떻게 변화하는가?
• RQ4 격자 해상도나 정밀도를 높여도 항상 솔루션 품질이 향상되는가, 아니면 노이즈가 증폭되어 성능이 악화되는가?
• RQ5 임bedding 및 표본 분포와 같은 매개변수에 대한 양자 솔루션 프로세스의 내재된 민감도는 무엇인가?

주요 결과

• D-Wave 분해기에서 도출된 최소 에너지 솔루션은 고전적 솔루션과 비교해 오차 지표 측면에서 항상 가장 열 劣한 성능을 보였다.
• 무가중치 평균 및 가중치 평균 솔루션은 최소 에너지 솔루션보다 유의미하게 높은 정확도를 보였으며, 특히 가중치 평균은 런 간 일관성이 향상되었다.
• 낮은 고정소수점 정밀도(예: 2~4비트)에서는 무가중치 평균 솔루션이 가중치 평균을 능가했으며, 이는 낮은 정밀도에서 노이즈가 지배적임을 시사한다.
• 높은 정밀도 값(예: 6~8비트)에서는 발생 빈도에 따라 솔루션을 가중치를 두어 평균을 내는 방식이 더 높은 정확도를 보였으며, 이는 더 신뢰할 수 있는 표본 추출을 의미한다.
• 격자 해상도나 정밀도를 높여도 정확도가 균일하게 향상되지 않았으며, 오히려 시스템 노이즈가 증가하여 성능이 악화되는 경우가 많았다.
• 양자 분해기의 솔루션 분포는 상당한 변동성을 보였으며, 이는 이 맥락에서 솔루션 추출 전략이 원자적 하드웨어 성능보다 더 중요하다는 것을 강조한다.