[논문 리뷰] Towards the finite slope part for $\mathrm{GL}_n$

Christophe Breuil, Florian Herzig|arXiv (Cornell University)|2018. 06. 07.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 23인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 $p$-진 필드 $L$ 위의 크리스탈린인 $n$차원 갈루아 표현 $\rho$에 대해, 주요 급수의 국소 해석적 소체를 이용하여 $\mathrm{GL}_n(L)$의 유한 길이 국소 $\mathbb{Q}_p$-해석적 표현 $\Pi(\rho)^{\mathrm{fs}}$를 구성한다. 미묘한 일반성 조건 하에서 이 표현이 $p$-진 자동형 형태 공간에 임베딩됨을 증명하며, 이는 유한 기울기 경우에서 $p$-진 국소 랑글랜드 추측에 강력한 증거나 된다.

ABSTRACT

Let $L$ be a finite extension of $\mathbb{Q}_p$ and $n\geq 2$. We associate to a crystabelline $n$-dimensional representation of $\mathrm{Gal}(\overline L/L)$ satisfying mild genericity assumptions a finite length locally $\mathbb{Q}_p$-analytic representation of $\mathrm{GL}_n(L)$. In the crystalline case and in a global context, using the recent results on the locally analytic socle from [BHS17a] we prove that this representation indeed occurs in spaces of $p$-adic automorphic forms. We then use this latter result in the ordinary case to show that certain "ordinary" $p$-adic Banach space representations constructed in our previous work appear in spaces of $p$-adic automorphic forms. This gives strong new evidence to our previous conjecture in the $p$-adic case.

연구 동기 및 목표

• 크리스탈린 갈루아 표현 $\rho$에 대해 미묘한 일반성 가정 하에 $\mathrm{GL}_n(L)$의 유한 길이 국소 $\mathbb{Q}_p$-해석적 표현 $\Pi(\rho)^{\mathrm{fs}}$를 구성하는 것.
• 크리스탈린인 경우에 $\Pi(\rho)^{\mathrm{fs}}$가 $p$-진 자동형 형태 공간에 부분표현으로 나타남을 보이는 것.
• 기존 연구에서 구성된 $p$-진 바나흐 공간 표현들이 $p$-진 자동형 형태 공간에 나타남을 보여, 이 결과를 일반화하는 것.
• $p$-진 국소 랑글랜드 추측에 강력한 증거를 제공하기 위해, 자동형 $p$-진 바나흐 공간 표현의 유한 기울기 부분이 자동형 공간에 부분표현으로 포함됨을 보이는 것.

제안 방법

• 주요 급수의 최대 부분표현들의 직합의 몫으로 $\Pi(\rho)^{\mathrm{fs}}$를 구성하며, 이는 국소 해석적 소체에 포함된 기약 성분들에 의해 필터링된다.
• 국소 해석적 소체 $\mathcal{C}^{\operatorname{soc}}(\rho)$를 사용하며, 이는 허드지-테이트 무게의 순열과 프로베니우스의 고유값의 정렬에 의해 매개변수화된 기약 표현들 $C(w^{\mathrm{alg}}, \mathcal{F})$로 이루어져 있다.
• 국소 해석적 소체에 관한 [BHS17a]의 결과를 적용하여, $\widehat{S}(U^p,E)_{\mathbb{Q}_p\text{-an}}[\mathfrak{m}_r]$의 가장 큰 알려진 부분표현을 식별한다.
• 유니버설 단위 수렴과 국소 해석적 표현 사이의 부분적 수반관계를 활용하여, 이 구성이 자동형 형태와의 연관성을 규명한다.
• 등식 $\operatorname{Hom}_{\underline{G}(F_p^+)}(\widehat{\otimes}\Pi(r_{\widetilde{v}})_{C_{r_{\widetilde{v}}},w_{\widetilde{v}}^{-1}}(\varepsilon^{n-1}), \widehat{S}(U^p,E)[\mathfrak{m}_r]) \cong \varprojlim \operatorname{Hom}(\widehat{\otimes}\mathrm{PS}(w_{\widetilde{v}}, \sigma_{\widetilde{v}}w_{\widetilde{v}})^{\wedge}(\varepsilon^{n-1}), \cdots)$를 사용하여 소체에서의 임베딩을 전체 표현으로 확장한다.
• 필요한 $\mathrm{GL}_n(L)$-표현이 자동형 공간 내에 존재함을 보장하기 위해 추측 5.10과 정리 5.11에 의존한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 크리스탈린 갈루아 표현 $\rho$에 대해, 미약한 일반성 조건을 만족하는 경우, $\mathrm{GL}_n(L)$의 유한 길이 국소 $\mathbb{Q}_p$-해석적 표현을 명시적으로 구성할 수 있는가?
• RQ2 구성된 표현 $\Pi(\rho)^{\mathrm{fs}}$는 $p$-진 자동형 형태 공간에 부분표현으로 나타나는가?
• RQ3 일반적인 경우에, 저자가 이전에 구성한 $p$-진 바나흐 공간 표현들은 $p$-진 자동형 형태 공간에 나타나는가?
• RQ4 자기 형태의 $p$-진 바나흐 공간 표현에서의 유한 기울기 부분은 유한 길이를 가지며, 자동형 공간에 임베딩되는가?
• RQ5 이 구성은 $\mathrm{GL}_n$에 대한 $p$-진 국소 랑글랜드 대응에 얼마나 강력한 증거를 제공하는가?

주요 결과

• $\Pi(\rho)^{\mathrm{fs}}$는 $\rho$와 관련된 주요 급수의 국소 해석적 소체를 이용하여, $\mathrm{GL}_n(L)$의 유한 길이, 적절한, 국소 $\mathbb{Q}_p$-해석적 표현으로 구성된다.
• 크리스탈린인 경우, $\Pi(\rho)^{\mathrm{fs}}$는 $\widehat{S}(U^p,E)[\mathfrak{m}_r]$의 국소 해석적 벡터 공간에 임베딩되며, $n \geq 2$인 경우 자동형 형태에서의 유한 기울기 부분을 처음으로 명시적으로 실현한다.
• 일반적인 경우, 정리에 의해 $\widehat{\otimes}_{v|p} \Pi(r_{\widetilde{v}})^{\mathrm{ord}}(\varepsilon^{n-1})$가 $\widehat{S}(U^p,E)[\mathfrak{m}_r]$에 단사로 포함됨을 보여, 일반적인 $p$-진 바나흐 공간 표현들이 자동형 형태에 나타남을 보여준다.
• 이 단사 사상은 $\bigoplus_w \left(\widehat{\otimes}_{v|p} \Pi(r_{\widetilde{v}})_{C_{r_{\widetilde{v}}},w_{\widetilde{v}}^{-1}}(\varepsilon^{n-1})\right)^{\oplus n_w} \hookrightarrow \widehat{S}(U^p,E)[\mathfrak{m}_r]$로 주어지며, 여기서 $n_w$는 소체 내의 $\mathrm{GL}_n(L)$-불변 벡터의 중복도를 세는 수이다.
• 이 구성은 추측 5.10을 가정할 때, [BH15, Conj. 4.2.2]의 추측을 크리스탈린 경우에 확인하며, [BH15, Thm. 4.4.8]의 원래 증명에서의 오류를 수정한다.
• 유한 기울기 부분 $\Pi(\rho)^{\mathrm{fs}}$는 $n \geq 2$인 경우 $\widehat{S}(U^p,E)_{\mathbb{Q}_p\text{-an}}[\mathfrak{m}_r]$의 가장 큰 알려진 부분표현이며, 향후 진전은 새로운 아이디어가 필요로 한다.