[논문 리뷰] Towards the smoothness of optimal maps on Riemannian submersions and Riemannian products (of round spheres in particular)

Young‐Heon Kim, Robert J. McCann|ArXiv.org|2008. 06. 02.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 13인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 리만 곱과 서브머전에서 교차 곡률의 음이 아닌 성질을 확립하며, 특히 n차원 원주가 이 조건을 만족함을 증명한다. 이는 최적 운반 지도의 A3w 정규성 조건을 함의한다. 결과적으로, 일정 곡률을 가진 다각형 이외의 광범위한 새로운 다각형 클래스에서 최적 지도가 부드럽다고 기대할 수 있으며, 복소 프로젝티브 공간 CPⁿ에 대해서는 그 추측이 확인된다.

ABSTRACT

The key condition A3w of Ma, Trudinger and Wang for regularity of optimal transportation maps is implied by the nonnegativity of a pseudo-Riemannian curvature -- which we call cross-curvature -- induced by the transportation cost. For the Riemannian distance squared cost, it is shown that (1) cross-curvature nonnegativity is preserved for products of two manifolds; (2) both A3w and cross-curvature nonnegativity are inherited by Riemannian submersions; and (3) the $n$-dimensional round sphere satisfies cross-curvature nonnegativity. From these results, a large new class of Riemannian manifolds satisfying cross-curvature nonnegativity (thus A3w) is obtained, including many whose sectional curvature is far from constant. All known obstructions to the regularity of optimal maps are absent from these manifolds, making them a class for which it is natural to conjecture that regularity holds. This conjecture is confirmed for complex projective space CP^n.

연구 동기 및 목표

• 교수 곡률 조건을 분석하여 리만 서브머전과 곱에서 최적 운반 지도의 부드러움을 확립하기.
• 최적 운반에서 정규성의 핵심 조건인 A3w 조건이 일정 곡률이 아닌 다각형에서 만족되는지 조사하기.
• 기존의 정규성 결과를 평탄하거나 대칭 공간을 넘어서 확장하기 위해 n차원 원주에서 교차 곡률의 음이 아닌 성질을 증명하기.
• 복소 프로젝티브 공간 $ \mathbf{CP}^n $에서 최적 지도의 정규성에 대한 추측을 교차 곡률 분석을 통해 확인하기.

제안 방법

• 리만 거리 제곱 비용에 의해 유도된 $ M \times \bar{M} $ 위의 의사-리만 계량 $ h $ 를 사용하여 교차 곡률을 정의한다.
• 교차 곡률의 음이 아닌 성질을, 접다발 내 영벡터에서의 Ma-Trudinger-Wang A3w 조건으로 적용한다.
• 곡률 전파 추론을 통해 리만 곱과 서브머전에서 교차 곡률의 음이 아닌 성질이 유지됨을 보여준다.
• 대칭성과 $ \hat{r} $ 및 $ q $ 가 확장하는 2차원 평면으로의 사영을 이용해 구 위의 문제를 2차원 경우로 환원한다.
• 자지 필드 沿선에서 에너지 함수의 이阶 도함수를 명시적으로 계산하여 교차 곡률의 부호를 분석한다.
• 삼각함수 항등식과 점근적 분석을 사용하여 $ S = \tan\psi $ 에 대한 이차형식의 판별식이 음수임을 보여, 곡률 표현의 양의 성질을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 두 다각형의 리만 곱에서 교차 곡률이 여전히 음이 아닌가?
• RQ2 리만 서브머전에서 교차 곡률이 음이 아닌가? 그리고 이는 A3w 조건을 유지하는가?
• RQ3 n차원 원주가 최적 운반 정규성의 A3w 조건을 만족하는가?
• RQ4 복소 프로젝티브 공간 $ \mathbf{CP}^n $에서 최적 지도의 정규성에 대한 추측이 곡률 분석을 통해 확인될 수 있는가?
• RQ5 교차 곡률이 0이 되는 조건은 무엇이며, 이는 열화 또는 정규성을 암시하는가?

주요 결과

• 리만 곱에서 교차 곡률의 음이 아닌 성질이 유지되며, 이는 A3w 조건을 만족하는 다각형의 범주를 확장한다.
• A3w 조건과 교차 곡률의 음이 아닌 성질이 모두 리만 서브머전으로 이행되며, 정규성 결과의 적용 범위를 넓힌다.
• n차원 원주가 교차 곡률의 음이 아닌 성질을 만족함을 확인하였으며, 이는 비일정 섹션 곡률에도 불구하고 A3w 조건이 성립함을 시사한다.
• 교차 곡률이 0이 되는 경우는 탄성 벡터 $ q $, $ w $, 및 $ \hat{r} $ 가 모두 평행할 때에만 발생하며, 이는 거의 양의 교차 곡률임을 확인한다.
• 복소 프로젝티브 공간 $ \mathbf{CP}^n $에서 최적 지도의 정규성에 대한 추측이 교차 곡률 분석을 통해 A3w 조건의 확인을 통해 확인된다.
• 구 위의 문제를 2차원으로 환원함으로써 $ S = \tan\psi $ 에 대한 이차형식의 완전한 분석이 가능해졌으며, 판별식이 음수임을 증명함으로써 양의 성질이 입증되었다.