[논문 리뷰] Towards Understanding the Spectral Bias of Deep Learning

Yuan Cao, Zhiying Fang외 3명|arXiv (Cornell University)|2019. 12. 03.

Stochastic Gradient Optimization Techniques참고 문헌 57인용 수 64

한 줄 요약

본 논문은 신경 접선 커널(NTK)을 통해 스펙트럴 바이어스(spectral bias)를 분석하고, 경사하강법이 NTK 고유함수에 따라 고유값과 연관된 속도로 수렴함을 보이며, 균일 구 데이터에 대한 사례 연구에서 차수 낮은 구면조화가 더 빨리 학습됨을 실험으로 입증한다.

ABSTRACT

An intriguing phenomenon observed during training neural networks is the spectral bias, which states that neural networks are biased towards learning less complex functions. The priority of learning functions with low complexity might be at the core of explaining generalization ability of neural network, and certain efforts have been made to provide theoretical explanation for spectral bias. However, there is still no satisfying theoretical result justifying the underlying mechanism of spectral bias. In this paper, we give a comprehensive and rigorous explanation for spectral bias and relate it with the neural tangent kernel function proposed in recent work. We prove that the training process of neural networks can be decomposed along different directions defined by the eigenfunctions of the neural tangent kernel, where each direction has its own convergence rate and the rate is determined by the corresponding eigenvalue. We then provide a case study when the input data is uniformly distributed over the unit sphere, and show that lower degree spherical harmonics are easier to be learned by over-parameterized neural networks. Finally, we provide numerical experiments to demonstrate the correctness of our theory. Our experimental results also show that our theory can tolerate certain model misspecification in terms of the input data distribution.

연구 동기 및 목표

• 과도 매개화(over-parameterized)된 신경망에서의 스펙트럴 바이어스를 동기 부여하고 형식화한다.
• 스펙트럴 바이어스를 신경 접선 커널(NTK) 및 그 고유구조와 연결한다.
• NTK 고유 방향을 따라 일반적인 수렴 결과를 제공한다.
• 구면 데이터에 대한 NTK 스펙트럼을 특징짓고, 저차 구면 조화를 학습하는 것과의 관계를 규명한다.
• 다양한 설정에서 수치 실험으로 이론적 결과를 검증한다.

제안 방법

• NTK 영역에서 신경망을 모델링하고 NTK 고유 함수에 따른 경사하강 역학을 도출한다.
• 두 계층 ReLU 네트워크에 대한 NTK를 정의하고 이를 차수 0 및 1의 arc-cosine 커널의 합으로 표현한다.
• 수렴 방향을 설명하기 위해 적분 연산자 L_kappa와 그 고유함수/고유값을 도입한다.
• 일정한 샘플 수와 너비 조건에서 NTK 고유 방향을 따라의 수렴이 대응 고유값에 의존한다는 일반 정리를 증명한다.
• 균일 구면 데이터 하에서 NTK의 스펙트럼 분석을 수행하고 명시적 고유값/고유함수(구면 조화) 및 그 감소율을 얻는다.
• 대구체 구면 데이터에 대한 명시적 수렴 속도를 제공하는 보조정리를 제시하고 학습 속도를 고유값과 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 과잉 매개화된 네트워크의 경사하강법은 NTK 고유 방향에서 어떻게 거동하는가?
• RQ2 NTK 고유값은 대상 함수의 서로 다른 주파수 성분 학습에서 수렴 속도를 어떻게 제어하는가?
• RQ3 입력이 단위 구에 균일하게 분포될 때 NTK의 스펙트럼은 무엇이며 구면 조화와는 어떤 관련이 있는가?
• RQ4 현실적인 너비와 샘플 크기 조건에서 저차 성분이 고차 성분보다 더 빨리 학습될 수 있는가?

주요 결과

• NTK 고유공간으로의 학습 오차 투영은 대응 고유값에 의해 결정되는 속도로 수렴한다.
• 저주파 성분(더 큰 NTK 고유값)은 더 빨리 학습되며, 더 좁은 네트워크에서도 더 적은 샘플로 학습된다.
• 데이터가 구면에 균일하게 분포하면 NTK 고유함수는 구면 조화와 정렬되고 고유값은 k>>d일 때 mu_k = Omega(k^{-d-1}) 또는 d>>k일 때 Omega(d^{-k+1})처럼 감소한다.
• 이 이론은 NTK로 유도된 RKHS에 대상이 위치할 필요가 없으며 임의의 대상 함수에 대해 성립한다.
• 구면 조화의 조합과 간단한 함수 학습에 대한 실험은 투영된 잔차 수렴 속도를 뒷받침한다.
• 데이터 분포의 특정 모델 오정합을 허용한다는 결과이다.