[논문 리뷰] Trace and extension theorems for homogeneous Sobolev and Besov spaces for unbounded uniform domains in metric measure spaces

Ryan Gibara, Nageswari Shanmugalingam|arXiv (Cornell University)|2022. 11. 23.

Advanced Harmonic Analysis Research인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 측도공간에서 유계가 아닌 균일 도메인 위의 동차 소볼레프 및 베소프 공간에 대해 추적 및 확장 정리를 수립한다. $ 0 < \theta < p $ 인 $ \theta $-codimensional 측도 조건 하에, $ D^{1,p}(\bar{\Omega}) $ 에서의 유계 선형 추적 연산자 $ T $ 가 동차 베소프 공간 $ HB^{1-\theta/p}_{p,p}(\partial\Omega) $ 로 존재하고, 그 역방향으로도 유계 선형 확장 연산자 $ E $ 가 존재함을 증명한다.

ABSTRACT

In this paper we fix $1\le p&lt;\infty$ and consider $(\Om,d,μ)$ be an unbounded, locally compact, non-complete metric measure space equipped with a doubling measure $μ$ supporting a $p$-Poincaré inequality such that $\Om$ is a uniform domain in its completion $\bar\Om$. We realize the trace of functions in the Dirichlet-Sobolev space $D^{1,p}(\Om)$ on the boundary $\partial\Om$ as functions in the homogeneous Besov space $HB^α_{p,p}(\partial\Om)$ for suitable $α$; here, $\partial\Om$ is equipped with a non-atomic Borel regular measure $ν$. We show that if $ν$ satisfies a $θ$-codimensional condition with respect to $μ$ for some $0&lt;θ

연구 동기 및 목표

• 측도공간에서 유계 도메인에서의 추적 및 확장 정리를 유계가 아닌 균일 도메인으로 확장한다.
• 함수의 추적 $ D^{1,p}(\Omega) $ 가 동차 베소프 공간 $ HB^{1-\theta/p}_{p,p}(\partial\Omega) $ 의 원소로 특성화되는 것을 확인한다.
• 동차 베소프 공간 $ HB^{1-\theta/p}_{p,p}(\partial\Omega) $ 에서 $ D^{1,p}(\Omega) $ 로의 유계 선형 확장 연산자 $ E $ 가 존재함을 수립한다. 이때 추적 연산자 $ T $ 는 $ E $ 의 왼쪽 역함수이다.
• 이전 결과에서 다루지 못한 바, 경계 $ \partial\Omega $ 가 유계가 아닐 경우를 다룬다.
• 추적 및 확장 연산자가 유효하기 위해 경계 측도 $ \nu $ 에 대한 $ \theta $-codimensional 조건이 수행하는 역할을 명확히 한다.

제안 방법

• 도메인 $ \Omega $ 의 윌링턴 타입 덮개를 이용하여 이차 윌링턴 공 $ B_{i,j} $ 로 분할하고, 이에 대응하는 파artition of unity $ \{\varphi_{i,j}\} $ 를 구성한다.
• 함수 $ f \in HB^{1-\theta/p}_{p,p}(\partial\Omega) $ 에 대해 $ F(x) = \sum_{i,j} \left( \fint_{U_{i,j}} f\, d\nu \right) \varphi_{i,j}(x) $ 로 확장 연산자 $ E $ 를 정의한다. 여기서 $ U_{i,j} \subset \partial\Omega $ 는 윌링턴 공과 관련된 경계 집합이다.
• 측도 비교를 제어하기 위해 $ \theta $-codimensional 조건을 적용한다: $ \frac{1}{C} \nu(B(\zeta,r)\cap\partial\Omega) \leq \frac{\mu(B(\zeta,r)\cap\Omega)}{r^\theta} \leq C \nu(B(\zeta,r)\cap\partial\Omega) $.
• 홀더 부등식과 $ \mu $ 의 두 배 성질을 활용하여, 확장된 함수 $ F $ 의 $ L^p $-노름을 $ f $ 의 베소프 반노름에 따라 유계로 제한한다.
• 추적 연산자 $ T $ 가 $ \nu $-거의 모든 $ \zeta \in \partial\Omega $ 에 대해 $ \lim_{r\to 0^+} \fint_{B(\zeta,r)\cap\Omega} |u - Tu(\zeta)|\, d\mu = 0 $ 을 만족함을 증명하여, 점별 거의 모든 곳에서의 추적 행동을 보장한다.
• 합성 연산자 $ T \circ E $ 가 $ HB^{1-\theta/p}_{p,p}(\partial\Omega) $ 에서 항등함수로 작용함을 보여 확장자가 오른쪽 역함수임을 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 측도공간에서 유계가 아닌 균일 도메인에 대해 동차 소볼레프 및 베소프 공간의 추적 및 확장 정리를 확장할 수 있는가?
• RQ2 유계 선형 추적 및 확장 연산자가 존재하기 위해 경계 측도 $ \nu $ 에 어떤 조건이 필수적이고 충분한가?
• RQ3 $ \nu $ 에 대한 $ \theta $-codimensional 조건이 추적 및 확장 연산자의 정규성과 어떻게 관련되는가?
• RQ4 경계 $ \partial\Omega $ 가 유계가 아닐 경우, 동차 베소프 공간 $ HB^{1-\theta/p}_{p,p}(\partial\Omega) $ 가 $ D^{1,p}(\Omega) $ 의 적절한 추적 클래스로 적합한가?
• RQ5 경계 $ \partial\Omega $ 가 유계가 아니고 $ 0 < \theta < p $ 일 때, 확장 연산자가 선형이고 유계인가?

주요 결과

• $ 0 < \theta < p $ 인 $ \theta $-codimensional 조건 하에, $ D^{1,p}(\Omega) \to HB^{1-\theta/p}_{p,p}(\partial\Omega) $ 로의 유계 선형 추적 연산자 $ T $ 가 존재한다.
• 추적 연산자 $ T $ 는 $ \nu $-거의 모든 $ \zeta \in \partial\Omega $ 에 대해 $ \lim_{r\to 0^+} \fint_{B(\zeta,r)\cap\Omega} |u - Tu(\zeta)|\, d\mu = 0 $ 을 만족하여, 점별 거의 모든 곳에서의 추적 행동을 보장한다.
• 추적 연산자 $ T \circ E $ 가 $ HB^{1-\theta/p}_{p,p}(\partial\Omega) $ 에서 항등함수로 작용하는 유계 선형 확장 연산자 $ E: HB^{1-\theta/p}_{p,p}(\partial\Omega) \to D^{1,p}(\Omega) $ 가 존재한다.
• 확장 연산자는 윌링턴 분해와 경계 집합에 대한 평균화를 통해 구성되며, $ \theta $-codimensionality 와 $ \mu $, $ \nu $ 의 두 배 성질을 통해 $ L^p $-노름이 제어된다.
• 이 결과는 이전 연구에서 경계가 유계임을 전제로 했던 바, 경계 $ \partial\Omega $ 가 유계가 아닐 경우에도 성립한다.
• 특히 $ p=1 $ 인 경우, $ \theta = 1 $ 은 $ L^1 $-추적과 비선형 확장을 야기하므로, 선형 유계 확장을 보장하기 위해 $ \theta < 1 $ 이여야 한다. 이 논문에서는 $ 0 < \theta < 1 $ 이 조건으로 요구된다.