[논문 리뷰] Trace formulae for Schrödinger operators on lattice

Evgeny Korotyaev|arXiv (Cornell University)|2017. 02. 05.

Spectral Theory in Mathematical Physics참고 문헌 10인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 추적 클래스에 속하지 않는 복소수이고 감쇠하는 잠재력에 대해 ℤᵈ 위의 슈뢰딩거 연산자에 대한 추적 공식을 수립한다. 자유 해석체의 추정과 하르디 공간 내 분석을 조합하여, 잠재력에 따라 고유값과 특이 스펙트럼 측도에 대한 명시적 추정을 유도하며, 이는 d ≥ 3 차원에서 더 넓은 잠재력 클래스로 이전 결과를 확장한다.

ABSTRACT

We consider Schrödinger operators with complex decaying potentials (in general, not from trace class) on the lattice. We determine trace formulae and estimate of eigenvalues and singular measure in terms of potentials. The proof is based on estimates of free resolvent and analysis of functions from Hardy space.

연구 동기 및 목표

• ℤᵈ 위의 이산 슈뢰딩거 연산자 H = Δ + V에 대해 복소수 잠재력 V가 추적 클래스에 속하지 않는 경우의 추적 공식 유도.
• d = 3일 때 p < 6/5, d ≥ 4일 때 p < 4/3인 ℓᵖ(ℤᵈ)에 속하는 잠재력에 대해 이전의 고유값 및 스펙트럼 측도 추정 결과를 확장.
• 하르디 공간 ℋ∞(𝔻) 내의 수정된 행렬식 D(z)를 사용하여 고유값의 분포와 특이 스펙트럼 측도에 대한 추정을 수립.
• 단위 원판 𝔻 내의 z ∈ 𝔻에 대한 호환형 사상 λ(z) = (d/2)(z + 1/z)와 관련된 스펙트럼 변수 z를 통해 H의 스펙트럼 성질 분석.
• 잠재력 노름 ‖V‖ₚ에 대한 (1 - |zⱼ|), |Im λⱯ|, |Re 𝝳(λⱼ)|의 합에 대한 정량적 추정 제공.
• 단위 원판 위의 스펙트럼 측도 μ를 포함하는 추적 공식 유도하여 고유값 합과 e⁻ⁱⁿᵗ dμ(t)의 적분 간의 연결 고리 설정.

제안 방법

• 수정된 행렬식 D(z) = ℰ(λ(z))를 정의하며, 여기서 ℰ(λ)는 (I + VR₀(λ))e⁻ᵛᴿ⁰⁽ˡ⁾의 정규화된 행렬식으로, 단위 원판 𝔻 내에서 해석적이게 보장한다.
• 스펙트럼 도메인 Λ = ℂ ∖ [−d, d]를 단위 원판 𝔻로 매핑하기 위해 호환형 사상 λ(z) = (d/2)(z + 1/z)를 사용하며, z = 0은 ∞에 대응한다.
• 함수 D(z)에 하르디 공간 이론을 적용하여 ‖D‖ℋ∞(𝔻) ≤ exp(C*²‖V‖ₚ²/2)를 도출하며, 여기서 C*는 d와 p에 따라 달라진다.
• D(z)의 로그 도함수를 𝔻ᵣ₀ 내에서 ψ(z) = −∑ₖ≥₂ ψₖzᵏ의 테일러 급수로 표현하며, ψ₂ = (a²/2)Tr V² 이고 a = 2/d 이다.
• 스펙트럼 측도 μ를 단위 원판 𝕋에 대해 ∫𝕋 e⁻ⁱⁿᵗ dμ(t) = (d/2π)∑ⱼ (1/zⱼⁿ − z̄ⱼⁿ)로 연결하여 추적 공식을 도출하며, 이는 Tr(Vⁿ) 및 ℛⁿ과 연결된다.
• 𝝳(λ) = √(λ² − d²)의 항등식을 사용하여 고유값과 스펙트럼 자료의 실수부 및 허수부를 단위 원판 위의 적분으로 표현.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 복소수 잠재력이 추적 클래스에 속하지 않는 ℤᵈ 위의 슈뢰딩거 연산자에 대해 어떻게 추적 공식을 수립할 수 있는가?
• RQ2 V에 대한 최적의 ℓᵖ(ℤᵈ) 조건은 무엇인가? 이 조건은 수정된 행렬식 D(z)가 하르디 공간 ℋ∞(𝔻)에 속하고 스펙트럼 추적 공식을 갖도록 보장하는가?
• RQ3 H = Δ + V의 고유값과 특이 스펙트럼 측도는 단위 원판 위의 스펙트럼 측도 μ의 푸리에 계수와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 잠재력 노름 ‖V‖ₚ에 대한 (1 - |zⱼ|), |Im λⱯ|, |Re 𝝳(λⱯ)|의 합에 대한 정량적 추정은 무엇인가?
• RQ5 n ≥ 2에 대해 Tr(Vⁿ)와 e⁻ⁱⁿᵗ dμ(t)의 적분을 포함하는 추적 공식을 고차항까지 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 수정된 행렬식 D(z)는 단위 원판 𝔻 내에서 해석적이며, ‖D‖ℋ∞(𝔻) ≤ exp(C*²‖V‖ₚ²/2)를 만족하며, 여기서 C*는 d와 p에 따라 달라진다.
• H = Δ + V의 고유값 {λⱼ}는 ∑ⱼ [(1 - |zⱼ|) + |Im λⱯ| + |Re 𝝳(λⱯ)|] < ∞를 만족하며, 여기서 zⱼ = (λⱯ − √(λⱯ² − d²))/d 이다.
• 로그 도함수 ψ(z) = log D(z)는 𝔻ᵣ₀ 내에서 ψ(z) = −∑ₖ≥₂ ψₖzᵏ의 테일러 전개를 가지며, ψ₂ = (a²/2)Tr V² 이고 a = 2/d 이다.
• 첫 번째 추적 공식은 ∑ⱼ (1/zⱯ − z̄Ɐ) = (d/2π)∫𝕋 e⁻ⁱᵗ dμ(t)이며, 이는 ∑ⱼ (Re 𝝳(λⱯ) + i Im λⱯ) = (d/2π)∫𝕋 e⁻ⁱᵗ dμ(t)를 함의한다.
• 두 번째 항차항에 대해, ∑ⱼ (𝝳₁λ₁ − λ₂𝝳₂) = (1/2)Re Tr V² + (d²/4π)∫𝕋 cos(2t) dμ(t)이며, 허수부에 대해서도 유사하게 유도된다.
• Im V ≥ 0 (또는 Re V ≥ 0) 조건 하에서, ∑ⱼ |Im λⱯ| ≤ dC*²‖V‖ₚ² 및 ∑ⱼ |Re 𝝳(λⱯ)| ≤ dC*²‖V‖ₚ²의 추정이 성립하며, 이는 스펙트럼 자료에 대한 균일한 추정을 제공한다.