[논문 리뷰] Trace of canonical modules, annihilator of Ext, and classes of rings close to being Gorenstein

Hailong Dao, Toshinori Kobayashi외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 05. 05.

Commutative Algebra and Its Applications참고 문헌 27인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 캐논컬 모듈의 트레이스 아이디얼을 Ext 모듈의 영수들에 관해 새로운 특성화를 제시하며, 특히 그들이 고렌스타인 유사 성질과 연결됨을 밝힌다. 1차원에서 거의 고렌스타인 링을 일반화한 약한 거의 고렌스타인 링을 도입하고, 특정 조건 하에서 정규 시퀀스에 의한 환의 축소에 대해 거의 고렌스타인 링의 성질이 유지됨을 증명하며, 2형 링에 대해 테치카와 추측의 새로운 형태를 제안한다.

ABSTRACT

In this note we study trace ideals of canonical modules. Characterizations of the trace ideals in terms of annihilators of certain Ext modules are given. We apply our results to study many classes of rings close to being Gorenstein that appear in recent literature. We discuss the behavior of nearly Gorensteinness, introduced by Herzog-Hibi-Stamate, under reductions by regular sequences. A nearly Gorenstein version of the Tachikawa conjecture is posed, and an affirmative answer given for type 2 rings. We also introduce the class of weakly almost Gorenstein rings using the canonical module, and show that they are almost Gorenstein rings in dimension one, and are closely related to Teter rings in the artinian case. We explain their basic properties and give some examples.

연구 동기 및 목표

• 코hen–맥컬레이 국소 링에서 Ext 모듈의 영수를 통해 캐논컬 모듈의 트레이스 아이디얼을 특성화하기.
• 특히 거의 고렌스타인 링과 거의 고렌스타인 링을 포함한 고렌스타인에 가까운 링을 연구하기.
• 정규 시퀀스에 의한 축소에서 거의 고렌스타인 및 약한 거의 고렌스타인 성질이 어떻게 행동하는지 조사하기.
• 거의 고렌스타인 버전의 테치카와 추측을 제안하고 일부 해결하기.
• 아르틴 링의 경우 약한 거의 고렌스타인 링과 테터 링 간의 관계 탐색하기.

제안 방법

• 코헨–맥컬레이 국소 링에서 트레이스 아이디얼과 영수 기법을 사용해 Ext 모듈과 캐논컬 모듈 간의 관계를 유도하기.
• 고렌스타인-포화된 스펙트럼의 경우, 캐논컬 모듈의 전치를 적용하여 새로운 영수 항등식 유도하기.
• 캐논컬 모듈과 잔여체를 포함하는 정확한 수열을 통해 약한 거의 고렌스타인 링의 클래스 도입하기.
• 소클의 구조와 캐논컬 쌍대를 이용해 아르틴 링에서 약한 거의 고렌스타인 링 특성화하기.
• 거론된 조건을 만족하는 아이디얼에 의해 거론된 거치수열 링의 몫으로서 예제 구축하기: $\mathfrak{n}I \subseteq J \subseteq I$ 이며 $S/I$ 가 고렌스타인인 경우.
• 버르크 아이디얼과 코스졸 homology에 관한 결과를 활용해 특정 경우에서 약한 거의 고렌스타인 성질 검증하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 캐논컬 모듈의 트레이스 아이디얼은 어떻게 Ext 모듈의 영수를 통해 특성화될 수 있는가?
• RQ2 정규 시퀀스에 의한 몫에서 거의 고렌스타인 성질이 어떤 조건에서 유지되는가?
• RQ3 1차원에서 약한 거의 고렌스타인 링과 거의 고렌스타인 링 간의 관계는 무엇인가?
• RQ4 아르틴 링에서 약한 거의 고렌스타인 링은 테터 링과 어떻게 관련되어 있으며, 자기 캐논컬 쌍대 최대 아이디얼과 어떤 관계가 있는가?
• RQ5 2형 링에 대해 거의 고렌스타인 버전의 테치카와 추측을 어떻게 제안하고 검증할 수 있는가?

주요 결과

• 코헨–맥컬레이 국소 링에서 캐논컬 모듈의 트레이스 아이디얼은 $\operatorname{Ext}^{>0}_R(\omega, \operatorname{mod}R)$ 와 $\operatorname{Ext}^1_R(\operatorname{CM}(R), R)$ 의 영수와 같다.
• 만약 $R$ 가 포화된 스펙트럼에서 고렌스타인이라면, $\operatorname{tr}\omega = \operatorname{ann}\operatorname{Ext}^{d+1}_R(\operatorname{Tr}\omega, R)$ 를 만족한다. 여기서 $\operatorname{Tr}\omega$ 는 $\omega$ 의 전치이다.
• 코헨–맥컬레이 국소 링이 거의 고렌스타인임은 임의의 정규 시퀀스 $\underline{x}$ 에 대해 $R/(\underline{x})$ 가 거의 고렌스타인임과 동치이며, 또는 $\mathfrak{m}^2$ 에 있는 정규 시퀀스나 $\operatorname{tr}\omega$ 에 있는 정규 시퀀스가 존재할 경우에도 동치이다.
• 1차원에서 거의 고렌스타인 링은 약한 거의 고렌스타인 링과 일치하며, $\mathfrak{m}$ 또는 $\mathfrak{m}^2$ 에 속한 정규 원소에 의한 몫에서 성질이 유지된다.
• 아르틴 링의 경우, 약한 거의 고렌스타인은 $R/\operatorname{soc}R$ 가 테터이거나, 자기 캐논컬 쌍대 최대 아이디얼을 갖는 것과 동치이다.
• 많은 약한 거의 고렌스타인 링은 $S$ 가 거치수열 링, $I \subseteq \mathfrak{n}^2$, $S/I$ 가 고렌스타인이며 $\mathfrak{n}I \subseteq J \subseteq I$ 를 만족하는 $J$ 에 대해 $S/J$ 의 형태로 나타난다.