[논문 리뷰] Traces of functions of bounded A-variation and variational problems with linear growth

Dominic Breit, Lars Diening외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 07. 21.

Nonlinear Partial Differential Equations인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 상수 계수를 가진 일계 선형 미분 연산자 $A$에 대해 유계 $A$-변동성 함수의 공간 $BV^A(\Omega)$를 도입한다. $L^1(\partial\Omega)$-트레이스가 존재함과 동시에 $A$가 $C$-타원형인 것과 동치임을 증명하며, 이는 이전의 $BV$ 및 $BD$ 공간에 대한 결과를 일반화하고, 선형 성장 조건을 가진 쿼اسي볼록 변분 문제의 최소화자 존재성을 증명하는 데 응용한다.

ABSTRACT

In this paper, we consider the space $BV^{A}(\\Omega)$ of functions of bounded $A$-variation. For a given first order linear homogeneous differential operator with constant coefficients $A$, this is the space of $L^1$--functions $u:\\Omega\ ightarrow R^N$ such that the distributional differential expression $A u$ is a finite (vectorial) Radon measure. We show that for Lipschitz domains $\\Omega\\subset R^{n}$, $BV^{A}(\\Omega)$--functions have an $L^1(\\partial\\Omega)$--trace if and only if $A$ is $C$-elliptic (or, equivalently, if the kernel of $A$ is finite dimensional). The existence of an $L^1(\\partial\\Omega)$--trace was previously only known for the special cases that $A u$ coincides either with the full or the symmetric gradient of the function $u$ (and hence covered the special cases $BV$ or $BD$). As an application we study quasiconvex variational functionals with linear growth depending on $A u$ and show the existence of a minimiser in $BV^{A}(\\Omega)$.

연구 동기 및 목표

• 유계 $A$-변동성 함수의 트레이스 이론을 전체 및 대칭 그래디언트의 특수 케이스를 초월하여 확장하기 위해.
• 리프시츠 경계에서 $BV^A(\Omega)$-함수들이 $L^1(\partial\Omega)$-트레이스를 가지는 조건을 특성화하기 위해.
• 선형 성장 조건을 가진 쿼اسي볼록 변분 문제에 대해 $BV^A$ 프레임워크 내에서 최소화자 존재성을 확립하기 위해.
• $BV$ 및 $BD$ 공간에서의 트레이스 및 최소화자 존재에 관한 기존 결과를 통합하고 일반화하기 위해.

제안 방법

• $Au$가 유한한 벡터 측도인 $L^1$-함수 $u: \Omega \to \mathbb{R}^N$의 집합으로서 공간 $BV^A(\Omega)$를 정의한다.
• 동차 미분 연산자 이론과 $C$-타원성 개념을 사용하여 $A$의 구조를 특성화한다.
• 리프시츠 경계에서 라돈 측도 이론과 트레이스 연산자 이론을 적용하여 $L^1(\partial\Omega)$-트레이스가 존재하기 위한 필요 및 충분 조건을 유도한다.
• $BV^A(\Omega)$에서 컴팩턴스 및 하한 연속성 추론을 사용하여 선형 성장 조건을 가진 쿼اسي볼록 함수의 최소화자 존재성을 증명한다.
• $C$-타원성과 $A$의 유한 차원 핵공간 간의 동치성을 활용하여 분석적 성질과 트레이스 존재성 간의 연결을 맺는다.
• $A$-타원성의 구조를 활용하여 $BV$ 및 $BD$ 공간에서의 기존 결과를 일반적인 $BV^A$ 설정으로 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $BV^A(\Omega)$-함수 중에서 어떤 조건에서 $L^1(\partial\Omega)$-트레이스가 존재하는가?
• RQ2 $A$의 $C$-타원성은 $BV^A(\Omega)$에서 트레이스 존재성과 어떻게 관련되는가?
• RQ3 $BV^A$ 공간에서 선형 성장 조건을 가진 쿼اسي볼록 변분 문제에 대해 최소화자가 존재하는가?
• RQ4 $BV$ 및 $BD$ 공간에서의 고전적 결과들이 얼마나 넓은 $BV^A$ 프레임워크로 일반화되는가?
• RQ5 $A$의 핵공간은 $BV^A$ 함수의 트레이스 성질을 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• $BV^A(\Omega)$-함수에 대해 $L^1(\partial\Omega)$-트레이스가 존재함과 동시에 $A$가 $C$-타원형인 것과 동치이다.
• $C$-타원성은 $A$의 핵공간이 유한 차원임과 동치이며, 이는 구조적 특성화를 제공한다.
• 이 트레이스 결과는 $Au$가 전체 또는 대칭 그래디언트에 해당하는 $BV$ 및 $BD$ 공간에 대한 이전 결과를 일반화한다.
• 선형 성장 조건을 가진 쿼اسي볼록 변분 함수의 최소화자가 $BV^A(\Omega)$ 내에서 존재함을 증명하였다.
• 증명은 $BV^A(\Omega)$에서의 컴팩턴스와 약* 수렴 하에서 함수의 하한 연속성에 기반한다.
• 이 프레임워크는 일반적인 미분 연산자에 대해 유계 변동성 공간에서의 트레이스 이론과 최소화 이론을 통합하고 확장한다.