[논문 리뷰] Traces, Ultrapowers and the Pedersen-Petersen C*-Algebras

Tristan Bice, Ilijas Farah|arXiv (Cornell University)|2013. 06. 29.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 13인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 원래 C*-대수의 추적들이 항상 초거대한 초거대체의 추적으로서의 초극한을 형성하지는 않음을 보여준다. 특히 원래 대수가 유한한 수의 추적을 가질지라도, 초거대체의 추적 중에는 초극한이 아닌 것이 존재할 수 있음을 밝힌다. 핵심 결과는 C*-대수가 무한히 많은 극단적 추적을 가질 경우, 그 초거대체가 원래 대수의 추적들의 $\upsilon$-극한이 아닌 추적을 포함할 수 있으며, 이러한 추적들은 $2^{2^{\aleph_0}}$ 크기의 가족을 이룬다. 이는 임의로 큰 $n$에 대해 $n+1$개의 그러나 $n$개의 *-교환자로 표현할 수 없는 연산자가 존재함을 시사하며, Pedersen-Petersen C*-대수의 깊이 있는 구조적 복잡성을 드러낸다.

ABSTRACT

Our motivating question was whether all traces on a U-ultrapower of a C*-algebra A, where U is a non-principal ultrafilter on N, are necessarily U-limits of traces on A. We show that this is false so long as A has infinitely many extremal traces, and even exhibit a 2^c size family of such traces on the ultrapower. For this to fail even when A has finitely many traces implies that A contains operators that can be expressed as sums of n+1 but not n *-commutators, for arbitrarily large n. We show that this happens for a direct sum of Pedersen-Petersen C*-algebras, and analyze some other interesting properties of these C*-algebras.

연구 동기 및 목표

• C*-대수 $A$의 초거대체 $A^{\mathcal{U}}$에서의 모든 추적이 $\mathcal{U}$-극한으로서 유도되는지 여부를 조사하는 것. 이는 작도 대수학의 분류 문제에 기인한다.
• 초거대체에서의 추적이 비자명해지는 조건(즉, 원래 대수의 추적들의 $\mathcal{U}$-극한이 아닌 경우)을 규명하는 것.
• Pedersen-Petersen C*-대수의 구조를 분석하고, 이들이 초거대체에서 비자명한 추적을 생성하는 데 기여하는 방식을 연구하는 것.
• 특히 *-교환자와 일반적인 자기수반 교환자 간의 관계를 고려하여, C*-대수의 교환자 구조와 추적 성질 간의 관계를 탐색하는 것.

제안 방법

• 비주어진 초필터를 사용한 $\mathbb{N}$ 위의 초거대체 구성 기법을 통해 $A^{\mathcal{U}}$를 형성하고, $l^\infty(A)$ 및 $c_\mathcal{U}(A)$의 성질을 활용하는 것.
• 추적 공간과 몫 공간 간의 쌍대성, 특히 $A^q = A_{\mathrm{sa}}/A_0$의 형태를 적용하며, 여기서 $A_0$는 *-교환자의 선형 생성 부분공간의 폐포이다.
• 무한히 많은 극단적 추적 상태를 가진 C*-대수 $A$를 구성하여 $A^{q\mathcal{U}}$가 반사적이지 않음을 보이고, 이는 $A^{*\mathcal{U}} \subsetneq A^{\mathcal{U}*}$를 의미함을 보이는 것.
• 자기수반 추적 함수해석의 조르당 분해와 상대적 중심화자 $A^\mathcal{U} \cap A'$의 구조를 이용하여 추적 확장을 분석하는 것.
• 단위 연산자 $U$와 $V$가 랭크 1 프로젝션에 작용하는 방식을 이용하여 $\mathfrak{P}_1$ 내에서 *-교환자가 아닌 자기수반 교환자를 명시적으로 구성하는 것.
• C(S^2, M_2)의 번들의 구조를 분석하고, $U(2)$-번들과 비교하여 서로 다른 번들의 유도하는 C*-대수가 서로 미등형임을 보이는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분리 가능한 C*-대수 $A$의 초거대체 $A^{\mathcal{U}}$에서 모든 추적이 $\mathcal{U}$-극한의 형태로 유도되는가?
• RQ2 유한한 수의 추적을 가진 C*-대수라도, 초거대체에서 $\mathcal{U}$-극한이 아닌 추적을 가질 수 있는가?
• RQ3 자기수반 교환자가 *-교환자일 수 없는 경우가 존재할 수 있는가?
• RQ4 $\mathfrak{c}^*(A) \subsetneq \mathfrak{c}(A)_{\mathrm{sa}}$의 포함관계가 어떤 C*-대수 $A$에서 엄밀히 성립할 수 있는가?
• RQ5 $n \in \mathbb{N}$에 대해, 포함관계 $\mathfrak{c}_n^*(A) \subseteq \mathfrak{c}_n(A)_{\mathrm{sa}} \subseteq \mathfrak{c}_{2n}^*(A)$가 어떤 C*-대수 $A$에서 엄밀히 성립할 수 있는가?

주요 결과

• 무한히 많은 극단적 추적 상태를 가진 C*-대수 $A$가 존재하여, $A^{\mathcal{U}}$가 원래 대수의 추적들의 $\mathcal{U}$-극한이 아닌 추적을 포함함을 보여, 초거대체의 모든 추적이 자명하다는 추측을 반증한다.
• 이러한 비자명한 추적들의 가족은 $2^{2^{\aleph_0}}$의 기수를 가지며, 이는 자명한 극한을 초월한 광범위하고 비자명한 추적의 구조를 시사한다.
• 만약 $A$가 유한한 수의 추적을 가지지만 여전히 $A^{\mathcal{U}}$에서 비자명한 추적을 가진다면, $A$는 임의로 큰 $n$에 대해 $n+1$개의 그러나 $n$개의 *-교환자로 표현할 수 없는 연산자를 포함해야 한다.
• Pedersen-Petersen C*-대수 $\mathfrak{P}_1$에서는 *-교환자가 아닌 자기수반 교환자가 존재하므로, $\mathfrak{c}^*(\mathfrak{P}_1) \subsetneq \mathfrak{c}(\mathfrak{P}_1)_{\mathrm{sa}}$임을 보여준다.
• $\mathfrak{P}_1$은 어떤 랭크 2 프로젝션 $P$에 대해서도 $PC(S^2, M_2)P$와 동형이 아니며, 이는 $U(2)$-번들과 $SU(2)$-번들이 유도하는 번들의 비등형성 때문임을 보여준다.
• $\mathfrak{c}(A)_{\mathrm{sa}} \subseteq \mathfrak{c}^*(A) + \mathfrak{c}^*(A)$의 포함관계가 엄밀히 성립할 수 있으며, 이는 두 *-교환자의 합으로 표현할 수 없는 자기수반 교환자가 존재함을 보여준다.