[논문 리뷰] Track Layouts of Graphs

Vida Dujmović, Attila Pór외 1명|arXiv (Cornell University)|2004. 07. 13.

Computational Geometry and Mesh Generation참고 문헌 35인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 그래프 그림 그리기의 구조적 모델로 트랙 레이아웃을 도입하고 공식화하며, 삼차원 그래프 그림 그리기의 기초 이론을 수립한다. 큐 수와 트랙 수가 선형적으로 관련되어 있음을 증명함으로써, 유한한 큐 수가 존재하면 유한한 트랙 수가 존재함을 시사하며, 외평면 그래프와 평면 그래프의 트랙 수에 대해 날카운 경계를 제공한다. 특히 평면 그래프의 경우 새로운 하한 7을 제시한다.

ABSTRACT

A \emph{$(k,t)$-track layout} of a graph $G$ consists of a (proper) vertex $t$-colouring of $G$, a total order of each vertex colour class, and a (non-proper) edge $k$-colouring such that between each pair of colour classes no two monochromatic edges cross. This structure has recently arisen in the study of three-dimensional graph drawings. This paper presents the beginnings of a theory of track layouts. First we determine the maximum number of edges in a $(k,t)$-track layout, and show how to colour the edges given fixed linear orderings of the vertex colour classes. We then describe methods for the manipulation of track layouts. For example, we show how to decrease the number of edge colours in a track layout at the expense of increasing the number of tracks, and vice versa. We then study the relationship between track layouts and other models of graph layout, namely stack and queue layouts, and geometric thickness. One of our principle results is that the queue-number and track-number of a graph are tied, in the sense that one is bounded by a function of the other. As corollaries we prove that acyclic chromatic number is bounded by both queue-number and stack-number. Finally we consider track layouts of planar graphs. While it is an open problem whether planar graphs have bounded track-number, we prove bounds on the track-number of outerplanar graphs, and give the best known lower bound on the track-number of planar graphs.

연구 동기 및 목표

• 그래프에 대한 트랙 레이아웃의 공식 이론을 수립함으로써, 특히 삼차원 그래프 그림 그리기의 맥락에서 이를 다루는 것.
• 트랙 레이아웃과 스택 및 큐 레이아웃 등 다른 그래프 레이아웃 모델 간의 관계를 조사하는 것.
• 특히 외평면 및 평면 그래프와 같은 특정 그래프 가족의 트랙 수에 대해 날카운 경계를 결정하는 것.
• 특정 트랙 레이아웃 성질을 갖는 그래프를 식별하는 데 관련된 계산 복잡도 문제를 탐색하는 것.

제안 방법

• 트랙 레이아웃의 (k,t)-모델을 도입: 정점에 대한 t-색칠, 각 색 클래스에 대한 전순서, 그리고 단색 X교차가 없는 k-간선 색칠.
• 작은 스팬을 가진 트랙 레이아웃을 더 적은 트랙을 가진 레이아웃으로 변환하기 위해 랩핑 보조정리를 개발.
• 트랙 레이아웃과 큐 레이아웃 간의 상하좌우 변환 가능성을 확립하여, 큐 수와 트랙 수가 선형적으로 관련되어 있음을 증명.
• 귀납적 구성과 기하적 임베딩을 활용하여 외평면 및 평면 그래프의 트랙 수에 대한 경계를 유도.
• 극한 그래프 이론을 적용하여 (k,t)-트랙 레이아웃에서의 최대 간선 수를 결정.
• 기하적 그림에서의 불변성을 활용하여 그래프의 재귀적 구성 과정에서 트랙 레이아웃 성질을 유지하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 (k,t)-트랙 레이아웃에서 간선 수의 최댓값은 얼마인가?
• RQ2 트랙 수를 늘리면서 간선 색의 수를 줄이거나, 반대로 간선 색의 수를 늘리면서 트랙 수를 줄일 수 있는 트랙 레이아웃의 조작 방법은 무엇인가?
• RQ3 일반적인 그래프에서 트랙 수와 큐 수(또는 스택 수) 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ4 외평면 및 평면 그래프의 트랙 수에 대해 날카운 경계는 무엇인가?
• RQ5 평면 그래프의 트랙 수는 유계인지, 그리고 알려진 최고의 하한은 무엇인가?

주요 결과

• 그래프의 큐 수와 트랙 수는 선형적으로 관련되어 있다: 트랙 수는 큐 수의 함수로 유계이며, 그 반대도 마찬가지이다.
• 그래프의 비순환 색칠 수는 그 큐 수와 스택 수 모두에 의해 유계이다.
• 외평면 그래프의 트랙 수는 최대 4이며, 정확히 4의 트랙 수를 갖는 외평면 그래프가 존재한다.
• 평면 그래프의 트랙 수는 최소 7이며, 이는 이전의 하한 6보다 향상된 것이다.
• 불완전한 트랙 수가 최소 7인 평면 그래프가 존재함을 보여주어, 심지어 불완전한 트랙 레이아웃이라도 7 이하로 유계가 될 수 없다는 것을 입증한다.
• 2트랙 그래프는 고리 없는 고리형 나무의 집합이며, 이는 2트랙 그래프의 완전한 특성화를 제공한다.