[논문 리뷰] Tractable semi-algebraic approximation using Christoffel-Darboux kernel

Swann Marx, Edouard Pauwels외 3명|arXiv (Cornell University)|2019. 04. 02.

Model Reduction and Neural Networks인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 청크스토프-다르부-핵을 사용하여 유한한 수의 청크스토프-다르부 측도의 모멘트로부터 유계 가측 함수—부드럽거나 비연속인 함수—를 재구성하기 위한 새로운 반대칭 대수적 근사 방법을 제안한다. 이 방법은 다항식 최적화를 통해 유일하고 전역적으로 정의된 근사치를 구성하며, 약간의 가정 하에 점별 거의 everywhere 수렴 및 L¹ 수렴을 달성하며 명시적인 수렴 속도를 제공한다. 비연속 케이스에서는 갑작스러운 진동 현상(Gibbs 현상)을 경험하지 않는다.

ABSTRACT

We provide a new method to approximate a (possibly discontinuous) function using Christoffel-Darboux kernels. Our knowledge about the unknown multivariate function is in terms of finitely many moments of the Young measure supported on the graph of the function. Such an input is available when approximating weak (or measure-valued) solution of optimal control problems, entropy solutions to non-linear hyperbolic PDEs, or using numerical integration from finitely many evaluations of the function. While most of the existing methods construct a piecewise polynomial approximation, we construct a semi-algebraic approximation whose estimation and evaluation can be performed efficiently. An appealing feature of this method is that it deals with non-smoothness implicitly so that a single scheme can be used to treat smooth or non-smooth functions without any prior knowledge. On the theoretical side, we prove pointwise convergence almost everywhere as well as convergence in the Lebesgue one norm under broad assumptions. Using more restrictive assumptions, we obtain explicit convergence rates. We illustrate our approach on various examples from control and approximation. In particular we observe empirically that our method does not suffer from the the Gibbs phenomenon when approximating discontinuous functions.

연구 동기 및 목표

• 함수의 양성 측도의 유한한 수의 모멘트만을 사용하여 유계 가측 함수를 통합적이고 실용적인 방법으로 근사화하는 것을 목표로 한다.
• 사전 지식 없이 또는 조각별 구성 없이 비연속 또는 비연속적인 함수를 근사화하는 데 도전하는 것을 목표로 한다.
• 넓은 가정 하에 제안된 근사 방법의 수렴 보장을 점별 거의 everywhere 수렴 및 L¹ 노름 수렴 측면에서 제공하는 것을 목표로 한다.
• 최적 제어 및 초순응 방정식의 약한 해를 포함한 문제들에서 이 방법의 강건성과 정확성을 입증하는 것을 목표로 한다.
• 비연속 함수 근사에서 갑작스러운 진동 현상이 발생하지 않는다는 것을 경험적으로 보여주는 것을 목표로 한다.

제안 방법

• 이 방법은 함수의 양성 측도의 모멘트 행렬과 관련된 정규 수직 다항식에서 유도된 크리스토프-다르부 핵을 사용한다.
• 함수 근사 문제를 지지 집합 추정 문제로 효과적으로 올리기 위해, 양의 다항식의 최소값의 인수로 반대칭 대수적 근사치를 구성한다.
• 측도의 그래프 위에서의 지지 집합을 추정하기 위해 볼록 최적화 문제(정수형 프로그램)를 해결하는 데 의존한다.
• 근사치는 모멘트 기반 최적화의 해로서 암묵적으로 정의되며, 효율적인 추정과 평가를 가능하게 한다.
• 모멘트 행렬의 안정성과 수치 조건을 향상시키기 위해 정규화를 적용한다.
• 이 방법은 부드럽고 비연속 함수를 동일한 방식으로 다루며, 사전 분할이나 조각별 모델링이 필요로 하지 않는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한한 모멘트 데이터만을 사용하여 부드럽고 비연속 함수를 모두 다룰 수 있는 단일 전역 근사 체계가 가능한가?
• RQ2 함수의 유계 변동성 또는 비연속성이 있는 경우, 제안된 반대칭 대수적 근사치의 수렴 성능은 어떠한가?
• RQ3 왜 이 방법은 비연속 함수 근사에서 갑작스러운 진동 현상을 피할 수 있으며, 이를 가능하게 하는 기하학적 또는 해석적 성질은 무엇인가?
• RQ4 모멘트 데이터에 작은 편차가 있을 경우, 이 방법의 강건성은 어느 정도인가?
• RQ5 이 방법은 저차수 또는 부분 모멘트 정보(예: 푸리에 계수)만을 사용하여 확장 가능한가?

주요 결과

• 넓은 가정 하에 점별 거의 everywhere 수렴 및 르베그의 1노름 수렴을 달성하며, 특히 유계 변동성 함수의 경우에도 성립한다.
• 더 엄격한 가정 하에 근사 오차에 대한 명시적인 수렴 속도를 도출한다.
• 수치 실험 결과, 충격이 존재하는 경우조차도 비연속 함수 근사에서 갑작스러운 진동 현상이 발생하지 않음을 보여준다.
• 모멘트 데이터 오차가 약 10⁻⁸ 수준일 경우, 최적 제어 및 PDE 문제에서 반대칭 대수적 근사치가 해석적 해에 매우 가까이 일치한다.
• 모멘트 데이터 오차가 10⁻⁴ 수준으로 오염된 경우에도 버거스 방정식에서 충격 전파를 정확히 복원할 수 있어 강건성을 입증한다.
• 최적 제어 및 초순응 PDE 문제에서 모멘트 이완을 통한 궤적과 해의 재구성이 성공적으로 이루어졌으며, 비연속성을 다루는 데 있어 전통적인 조각별 다항식 방법보다 뛰어난 성능을 보였다.