[논문 리뷰] Trade-off between Performance and Reversibility of Entanglement Concentration for Pure Entangled State

Wataru Kumagai, Masahito Hayashi|arXiv (Cornell University)|2013. 05. 27.

Quantum Information and Cryptography인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 이분기수 순수 상태에 대한 얽힘 농축이 점점 무한에 가까워지는 근처에서 본질적으로 역행 불가능하다는 것을 입증하며, 농축 성능과 복원 가능성 사이의 상충 관계를 보여준다. 비최대 얽힘 상태에 대해 최소 농축-복원 오차(MCRE)가 1로 수렴함을 입증함으로써, 큰 수의 복제본이 있더라도 압축 후 완벽한 복원이 불가능하다는 것을 의미한다.

ABSTRACT

In quantum information theory, it is widely believed that entanglement concentration for bipartite pure states is asymptotically reversible. In order to examine this, we give a precise formulation of the problem, and show a trade-off relation between performance and reversibility, which implies the irreversibility of entanglement concentration. Then, we regard entanglement concentration as entangled state compression in an entanglement storage with lower dimension. Because of the irreversibility of entanglement concentration, an initial state can not be completely recovered after the compression process and a loss inevitably arises in the process. We numerically calculate this loss and also derive for it a highly accurate analytical approximation.

연구 동기 및 목표

• 얽힘 농축이 점점 무한에 가까워지는 근처에서 실제로 역행 가능한지 엄밀히 검토하여, 일반적으로 널리 퍼져 있는 역행 가능성에 대한 믿음을 도전한다.
• 얽힘 농축의 성능과 원래 상태 복원 가능성 사이의 본질적 상충 관계를 정량화한다.
• LOCC 기반 얽힘 압축에서의 역행 불가능성 측도로 최소 농축-복원 오차(MCRE)를 정의하고 분석한다.
• 비점점근적 및 점점근적 영역에서 얽힘 농축의 역행 불가능성을 위한 분석적 근사와 수치적 증거를 유도한다.
• 비최대 얽힘 상태에 대해 LOCC를 통한 완벽한 얽힘 압축과 복원이 본질적으로 불가능하다는 것을 확립한다.

제안 방법

• 얽힘 농축과 복원을 LOCC 작동으로 공식화하고, 두 오차 척도인 농축 오차와 최소 복원 오차를 정의한다.
• 농축 작동과 목표 EPR 상태 복제본을 공동으로 최소화하는 방식으로 최소 농축-복원 오차(MCRE)를 도입한다.
• 신뢰도 기반 오차 척도 $ e^{ ext{C}}_n(m,C| ho) = 1 - F^2(C( ho^{igotimes n}), ilde{ ho}^{igotimes m}) $ 와 $ e^{ ext{R}}_n(C| ho) = ext{min}_{D:LOCC} ig[1 - F^2( ho^{igotimes n}, D igcirc C( ho^{igotimes n}))ig] $ 를 사용한다.
• 바나흐-스테이너의 중심극한정리와 상태의 바나흐-스테이너 엔트로피 및 분산을 적용하여 MCRE의 점점 무한에 가까운 근사값을 가우시안 누적분포함수 $ G(x) $ 를 사용해 도출한다.
• 특히 $ ilde{K}(b,b'| ho) = Gig( rac{b - S_ ho b'}{ u_ ho} ig) $ 를 증명함으로써 유한한 크기 보정 하에서 오차율의 점점 무한에 가까운 분석이 가능해진다.
• 핵심 결과로 비최대 얽힘 상태에 대해 $ ext{MCRE} o 1 $ 이 되며, $ n o ty $ 일 때, 초기 상태의 엔트로피와 분산에 따라 정밀한 점점 무한에 가까운 형태로 수렴함을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이분기수 순수 상태에 대한 얽힘 농축은 LOCC 작동 하에서 점점 무한에 가까워지는 근처에서 역행 가능한가?
• RQ2 얽힘 농축의 성능과 상태 복원 성공 가능성 사이의 본질적 상충 관계는 무엇인가?
• RQ3 최소 농축-복원 오차(MCRE)는 점점 무한에 가까운 근처에서 임의로 작게 만들 수 있는가?
• RQ4 얽힘 농축의 역행 불가능성은 초기 상태의 엔트로피와 분산에 어떻게 의존하는가?
• RQ5 역행 불가능성을 고려할 때, 최적의 점점 무한에 가까운 얽힘 농축 및 희석 비율은 무엇인가?

주요 결과

• 비최대 얽힘 상태에 대해 최소 농축-복원 오차(MCRE)는 점점 무한에 가까워지는 근처에서 항상 1로 수렴하며, 이는 역행 불가능성을 입증한다.
• 비최대 얽힘 상태에서는 농축 오차를 임의로 작게 만들 수 있지만, 이는 복원 오차를 1에 가깝게 만들며, 완벽한 복원이 불가능하다는 것을 의미한다.
• 복제 수가 $ n + b' u_ hoig/ ext{const} + o( u_ ho) $ 일 때, MCRE는 $ 2Gig( rac{S_ ho b'}{2 u_ ho} ig) $ 이하로 바운드되며, 이는 비트리버스한 상충 관계를 보여준다.
• 복제 수가 $ n + b' u_ ho + o( u_ ho) $ 이고 $ b' o 0 $ 일 때, MCRE는 1로 수렴하며, 이는 최적 비율에서의 작은 이격조차도 역행 불가능성을 초래함을 확인한다.
• 점점 무한에 가까운 오차율은 가우시안 누적분포함수 $ G(x) $ 를 사용하여 분석적으로 근사되며, 오차는 초기 상태의 엔트로피 $ S_ ho $ 와 분산 $ V_ ho $ 에 따라 달라진다.
• 주어진 오차 $ ho $ 를 달성하기 위해 필요한 최소 EPR 쌍 수 $ N_n( ho| ho) $ 의 정밀한 점점 무한에 가까운 전개를 도출하였으며, $ N_n( ho| ho) = n + b_{ ho, ho} u_ ho + o( u_ ho) $ 를 만족하며, $ b_{ ho, ho} = -2 u_ ho S_ ho^{-1} G^{-1}(1 - ho/2) $ 라 한다.