[논문 리뷰] Transcendental equations satisfied by the individual zeros of Riemann $\zeta$, Dirichlet and modular $L$-functions

Guilherme França, André LeClair|arXiv (Cornell University)|2015. 02. 20.

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한 줄 요약

이 논문은 리만 제타 함수와 관련된 L-함수의 비자명한 영점을 계산하기 위한 새로운 방법을 제안한다. 이 방법은 임의의 비자명한 영점이 임계선 위에 존재하는 것과 일대일로 대응되는 정확한 초월방정식을 유도함으로써 이를 해결한다. 명시적 공식과 라마르트 W-함수를 사용하여, 이 접근법은 매우 정밀한 수치적 해를 도출하며, 몬고메리의 쌍상관도 추측을 검증하고 높은 정밀도로 소수 개수 함수를 재구성한다.

ABSTRACT

We consider the non-trivial zeros of the Riemann $\zeta$-function and two classes of $L$-functions; Dirichlet $L$-functions and those based on level one modular forms. We show that there are an infinite number of zeros on the critical line in one-to-one correspondence with the zeros of the cosine function, and thus enumerated by an integer $n$. From this it follows that the ordinate of the $n$-th zero satisfies a transcendental equation that depends only on $n$. Under weak assumptions, we show that the number of solutions of this equation already saturates the counting formula on the entire critical strip. We compute numerical solutions of these transcendental equations and also its asymptotic limit of large ordinate. The starting point is an explicit formula, yielding an approximate solution for the ordinates of the zeros in terms of the Lambert $W$-function. Our approach is a novel and simple method, that takes into account $\arg L$, to numerically compute non-trivial zeros of $L$-functions. The method is surprisingly accurate, fast and easy to implement. Employing these numerical solutions, in particular for the $\zeta$-function, we verify that the leading order asymptotic expansion is accurate enough to numerically support Montgomery's and Odlyzko's pair correlation conjectures, and also to reconstruct the prime number counting function. Furthermore, the numerical solutions of the exact transcendental equation can determine the ordinates of the zeros to any desired accuracy. We also study in detail Dirichlet $L$-functions and the $L$-function for the modular form based on the Ramanujan $ au$-function, which is closely related to the bosonic string partition function.

연구 동기 및 목표

• 비자명한 영점이 임계선 위에 존재하는 것과 일대일로 대응되는 정확한 초월방정식을 유도함으로써 리만 제타 함수와 관련된 L-함수의 비자명한 영점을 계산하는 것.
• 라마르트 W-함수와 명시적 공식을 사용하여, 이러한 영점의 순서를 수치적으로 효율적이고 매우 정밀하게 계산하는 방법을 개발하는 것.
• 라마르트 W-함수로부터 유도된 영점의 주요 점근적 근사가 몬고메리의 쌍상관도 추측과 소수 개수 함수와 같은 깊은 수론적 통계를 재현하는 데에 충분한 정밀도를 제공하는지 테스트하는 것.
• 디리클레 L-함수와 모듈라 L-함수, 특히 라마누잔 τ-함수와 관련된 L-함수로 이 방법을 확장하는 것.
• 라마누잔 가설을 가정하지 않더라도, 임계 스크린 내 영점의 전체 수를 세는 공식이 초월방정식의 해의 수로 완전히 포화됨을 검증하는 것.

제안 방법

• L-함수의 비자명한 영점과 소수에 대한 합계 및 L-함수의 위상 간의 명시적 공식을 유도함.
• 명시적 공식을 사용하여 라마르트 W-함수로 표현된 n번째 영점의 근사해를 도출함으로써 수치적 정밀화의 기초를 마련함.
• n번째 영점에 대한 정확한 초월방정식을 유도함. 이 방정식은 정수 인덱스 n과 L-함수의 함수 형태에만 의존함.
• 반복 방법을 사용하여 정확한 초월방정식을 수치적으로 해석함으로써 각 영점의 순서에 대해 임의의 정밀도를 달성함.
• 특히 고밀도 영점 영역에서 정밀도를 향상시키기 위해 L-함수의 위상(arg L)을 핵심 입력으로 활용함.
• 기존에 알려진 영점과의 비교를 통해 결과를 검증하고, GUE 통계 및 소수 정리와의 일관성을 테스트함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 리만 제타 함수의 비자명한 영점의 순서는 인덱스 n에만 의존하는 정확한 초월방정식을 통해 계산될 수 있는가?
• RQ2 라마르트 W-함수로부터 유도된 n번째 영점의 주요 점근적 근사는 몬고메리의 쌍상관도 추측을 수치적으로 지지할 정도로 충분히 정밀한가?
• RQ3 정확한 초월방정식의 수치적 해가 고정밀도로 소수 개수 함수 π(x)를 재구성할 수 있는가?
• RQ4 디리클레 및 모듈라 L-함수에 대한 초월방정식의 해가 알려진 영점 분포와 통계적 성질을 얼마나 잘 따르는가?
• RQ5 라마누잔 가설을 가정하지 않더라도, 초월방정식의 해의 수가 임계 스크린 내 영점의 전체 수를 세는 공식을 완전히 포화하는가?

주요 결과

• 리만 제타 함수의 n번째 비자명한 영점은 인덱스 n에만 의존하는 초월방정식을 만족하며, 그 해는 임계선 위의 영점과 일대일로 대응된다.
• 라마르트 W-함수로 표현된 n번째 영점의 주요 점근적 근사는 몬고메리의 쌍상관도 추측을 수치적으로 지지할 정도로 충분히 정밀한 해를 제공한다.
• 정확한 초월방정식의 수치적 해는 소수 개수 함수 π(x)를 매우 정밀하게 재현하며, 이는 방법의 소수 정리와의 일관성을 확인한다.
• 이 방법은 디리클레 L-함수와 라마누잔 τ-함수와 관련된 L-함수의 영점도 성공적으로 계산하며, 그 해는 알려진 자료와 통계적 행동과 일치한다.
• 초월방정식의 해의 수가 이미 임계 스크린 내 영점의 전체 수를 세는 공식을 완전히 포화하고 있어, 라마누잔 가설을 가정하지 않더라도 방정식이 전체 분포를 포괄하고 있음을 시사한다.
• 수치적 절차에 arg L을 포함시키면 특히 고위치 영점에서 정밀도가 크게 향상되며, 이는 영점 탐색 알고리즘에서 arg L의 핵심적 역할을 입증한다.