[논문 리뷰] Transcendental submanifolds of RP^n

Selman Akbulut, Henry King|ArXiv.org|2004. 04. 26.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 6인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 실수 사영 공간 ℝℙⁿ의 폐쇄된 매끄러운 부분다양체를 구성하며, 이들은 비특이 실수 사영 대수적 부분다양체와 동치위상적일 수 있지만, 복소수 사영 공간 ℂℙⁿ 내의 비특이 복소 대수적 부분다양체의 실수 부분으로는 동치위상적으로 이동시킬 수 없다. 스티펠-우드니 클래스와 코homological 장애를 사용하여, 특정한 다각형들—예를 들어 특정한 m과 s에 대해 ℝℙᵐ×S¹—이 실수 대수적 모델을 갖지만, 코homology에서의 위상적 불일치로 인해 매끄러운 복소 대수적 모델로 올라가지 못함을 증명한다.

ABSTRACT

In this paper we give examples of closed smooth submanifolds of RP^n which are isotopic to nonsingular projective subvarieties of RP^n but they can not be isotopic to the real parts of nonsingular complex projective subvarieties of CP^n.

연구 동기 및 목표

• ℝℙⁿ의 매끄러운 부분다양체를 구성하여, 이들이 비특이 실수 사영 대수적 부분다양체와 동치위상적이지만, ℂℙⁿ 내의 비특이 복소 대수적 부분다양체의 실수 부분으로는 동치위상적으로 이동시킬 수 없도록 하는 것.
• 사영적 폐쇄 실패 외의 위상적 장애를 통해 매끄러운 부분다양체가 복소 대수적 집합의 실수 부분으로서 실현될 수 없도록 하는 장애를 규명하는 것.
• 이전의 아핀 예제들—초월적 부분다양체—를 코homological 불변량을 사용하여 사영 설정으로 확장하는 것.
• 특정한 다각형들, 예를 들어 ℝℙᵐ×S¹가, 복소화와 불일치하는 비자명한 대수적 코homology 클래스로 인해 매끄러운 복소 대수적 부분다양체로 이동시킬 수 없다는 것을 보여주는 것.

제안 방법

• m이 짝수일 때 s≥3 또는 m=4k+1일 때 s≥5인 경우, ℝℙᵐ를 ℝ²ᵐ⁻ˢ에 매립하는 것을 활용하며, [MM]의 결과를 통해 이러한 매립이 존재함을 보장한다.
• 레프셰츠 초평면 정리(라르센 [Hr]를 통한)를 적용하여, i≤s−1일 때 Hⁱ(Vℂ;ℤ) ≅ Hⁱ(ℂℙⁿ;ℤ)임을 유도함으로써, 복소 대수적 코homology 클래스의 이미지를 제한한다.
• V와 Vℂ의 mod 2 코homology를 분석하기 위해, 제약 사상 j*: Hⁱ(ℂℙⁿ;ℤ₂) → Hⁱ(ℝℙⁿ;ℤ₂)와 j*: Hⁱ(Vℂ;ℤ₂) → Hⁱ(V;ℤ₂)를 포함하는 교환도형을 사용하여, i≤s−1일 때 Ĥℂ−algⁱ(V;ℤ₂)=0임을 보인다.
• 논문 [AK5]의 정리 1을 적용하여, Ĥℂ−alg²(V;ℤ₂)를 H²ₐ(V;ℤ₂)²—대수적 코homology 클래스의 제곱—과 동치로 간주한다.
• 스티펠-우드니 클래스 w₁(V)와 w₂(V)가 실수 대수적 집합에서 대수적임을 안다(참고: [AK1]), 그리고 w₁²(V)≠0이면 s≥3 또는 s≥5일 때 Ĥℂ−alg²(V;ℤ₂)의 영성과 모순됨을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 ℝℙⁿ의 매끄러운 부분다양체 중에서 비특이 실수 사영 대수적 부분다양체와 동치위상적인 것들이 모두 ℂℙⁿ 내의 비특이 복소 대수적 부분다양체의 실수 부분으로 동치위상적으로 이동시킬 수 있는가?
• RQ2 사영적 폐쇄 실패 외의 위상적 장애는 무엇이며, 이는 ℝℙⁿ의 매끄러운 부분다양체가 비특이 복소 대수적 부분다양체의 실수 부분으로 동치위상적으로 이동되지 못하게 하는가?
• RQ3 스티펠-우드니 클래스와 그 제곱이 mod 2 코homology에서 실수 대수적 부분다양체의 복소 대수적 모델 존재성과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 차원과 매립 코디멘션에 어떤 조건이 성립할 때, 레프셰츠 초평면 정리는 ℂℙⁿ 내 실수 대수적 부분다양체의 대수적 코homology를 제한하는가?
• RQ5 ℝⁿ 내에서의 초월적 부분다양체의 구성 방식을 ℝℙⁿ으로 확장할 수 있으며, 복소화에 대한 장애를 유지할 수 있는가?

주요 결과

• 비특이 실수 사영 대수적 부분다양체와 동치위상적인 폐쇄된 매끄러운 부분다양체 M⊂ℝℙⁿ이 존재하지만, 이는 ℂℙⁿ 내의 비특이 복소 대수적 부분다양체의 실수 부분으로는 동치위상적으로 이동시킬 수 없다.
• m이 짝수이고 s≥3이거나, m=4k+1이며 s≥5인 경우, 부분다양체 M=ℝℙᵐ×S¹는 ℝℙⁿ 내의 비특이 사영 폐쇄 대수적 부분다양체 V⊂ℝℙⁿ와 동치위상적이다.
• s≥3일 때(짝수 m) 또는 s≥5일 때(4k+1 형태의 m) mod 2 코homology 클래스 w₁²(V)≠0는 Ĥℂ−alg²(V;ℤ₂)의 영성과 모순되며, H²ₐ(V;ℤ₂)²=Ĥℂ−alg²(V;ℤ₂) 조건을 위반한다.
• 이 장애는 w₁²(V)가 [AK1]에 의해 H²ₐ(V;ℤ₂)² 내에서 대수적임에도 불구하고, 레프셰츠 정리와 매립 코디멘션 s−1로 인해 Ĥℂ−alg²(V;ℤ₂)=0가 되기 때문에 발생한다.
• 이 결과는 이전의 아핀 예제들을 사영 설정으로 일반화하여, 복소화에 대한 위상적 장애가 사영적 폐쇄의 산물이 아니라 본질적인 성질임을 보여준다.
• 모든 짝수 m에 대해 s≥3이거나, m=4k+1에 대해 s≥5일 때, [MM]의 결과에 의해 ℝℙᵐ↪ℝ²ᵐ⁻ˢ의 존재성으로 인해 구성은 유효하다.