[논문 리뷰] Transfer of R-groups between p-adic inner forms of SL_n

Kwangho Choiy, David Theo Goldberg|arXiv (Cornell University)|2012. 11. 21.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 17인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $p$-진 장 $F$ 에 대해 내형(inner form) $SL_n(F)$ 에서 분할된 군 $SL_n(F)$ 로 Knapp-Stein R-군의 전이를 확립한다. 일반화된 Jacquet-Langlands 대응과 Plancherel 측도 불변성에 기반하여, 내형의 R-군이 분할 형식의 R-군에 포함됨을 증명하며, 몫은 유도된 군의 특성군의 부분군과 동형이며, Arthur의 예측에 따라 Knapp-Stein R-군이 Arthur의 엔도스코픽 R-군과 동형임을 확인한다.

ABSTRACT

We study the Knapp-Stein $R$--groups for inner forms of the split group $SL_n(F),$ with $F$ a $p$--adic field of characteristic zero. Thus, we consider the groups $SL_m(D),$ with $D$ a central division algebra over $F$ of dimension $d^2,$ and $m=n/d.$ We use the generalized Jacquet-Langlands correspondence and results of the first named author to describe the zeros of Plancherel measures. Combined with a study of the behavior of the stabilizer of representations by elements of the Weyl group we are able to determine the Knapp-Stein $R$--groups in terms of those for $SL_n(F).$ We show the $R$--group for the inner form embeds as a subgroup of the $R$--group for the split form, and we characterize the quotient. We are further able to show the Knapp-Stein $R$--group is isomorphic to the Arthur, or Endoscopic $R$--group as predicted by Arthur. Finally, we give some results on multiplicities and actions of Weyl groups on $L$--packets.

연구 동기 및 목표

• 특성 0인 $p$-진 장 $F$ 에 대해 비분할 내형 $SL_n(F)$ 의 Knapp-Stein R-군의 구조를 이해하기 위해.
• 중앙 분할 대수 $D$ 가 있는 내형 $SL_m(D)$ 의 R-군이 분할 군 $SL_n(F)$ 의 R-군과 어떻게 관련되는지 규명하기 위해.
• Knapp-Stein R-군이 Arthur의 엔도스코픽 R-군과 동형임을 확인하여, Arthur의 추측이 이 설정에서 성립함을 입증하기 위해.
• Weyl 군의 $L$-패키지에 대한 작용을 분석하고 내형의 온도 스펙트럼에서의 중복도를 결정하기 위해.

제안 방법

• Levi 부분군의 $L$-패키지 간 $GL_n(F)$ 와 $GL_m(D)$ 간 일반화된 Jacquet-Langlands 대응을 활용하여 내형의 표현을 연결하기 위해.
• 제1저자의 Plancherel 측도 영점에 관한 결과를 적용하여, 영인 Plancherel 측도에 대응하는 근의 집합이 대응 관계에서 유지됨을 보이기 위해.
• 표현에 대한 Weyl 군 작용을 이용하여 $L$-패키지 내에서 표현 $\sigma$ 의 안정자 $W(\sigma)$ 를 특성화하기 위해.
• $\bar{W}$ 는 $\widetilde{M}^\prime/M^\prime$ 의 특성에 의해 쌍대표현 $\widetilde{\sigma}^\prime$ 를 쌍대표현의 쌍대표현으로 보존하는 Weyl 군 원소들의 집합이며, $W(\sigma^\prime) \subset \bar{W}$ 를 증명하고, 이를 R-군 구조와 연결하기 위해.
• 내형 $SL_m(D)$ 의 R-군이 $SL_n(F)$ 의 R-군에 포함됨을 증명하며, 몫이 $X_{M^\prime}(\phi)/X(\sigma^\prime)$ 의 부분군과 동형임을 보이기 위해.
• 모든 근 $\beta$ 에 대해 $\mu_\beta(\sigma) = \mu_\beta(\sigma^\prime)$ 이므로 $W^\prime_\sigma = W^\prime_{\sigma^\prime}$ 를 유도하고, 문제를 안정자 비교로 단순화하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 내형 $SL_m(D)$ 의 Knapp-Stein R-군이 분할 군 $SL_n(F)$ 의 R-군과 어떻게 관련되는가?
• RQ2 일반화된 Jacquet-Langlands 대응이 R-군을 정의하는 Plancherel 측도 영점을 유지하는가?
• RQ3 Arthur의 추측에 따르면 내형의 Knapp-Stein R-군이 Arthur의 엔도스코픽 R-군과 동형임이 예측되는데, 이것이 참인가?
• RQ4 내형의 $L$-패키지에 대한 Weyl 군 작용의 구조는 무엇이며, 이는 중복도에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ5 Weyl 군 내에서 표현의 안정자가 Jacquet-Langlands 대응 하에서 그 상응 표현의 특성 편향과 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 내형 $SL_m(D)$ 의 R-군은 분할 군 $SL_n(F)$ 의 R-군에 부분군으로 포함되며, 몫은 $X_{M^\prime}(\phi)/X(\sigma^\prime)$ 의 부분군과 동형이다.
• 내형의 표현 $\sigma^\prime$ 의 안정자 $W(\sigma^\prime)$ 는 ${}^w\widetilde{\sigma}^\prime \simeq \widetilde{\sigma}^\prime \otimes \eta$ 를 만족하는 Weyl 군 원소 $w$ 들의 집합이며, $\eta \in (\widetilde{M}^\prime/M^\prime)^D$ 이다. 이는 R-군 구조와 정확한 연결 고리를 형성한다.
• Plancherel 측도 영점은 일반화된 Jacquet-Langlands 대응 하에서 유지되므로 $W^\prime_\sigma = W^\prime_{\sigma^\prime}$ 이며, 이는 R-군 비교 문제를 $W(\sigma)$ 와 $W(\sigma^\prime)$ 의 비교로 단순화시킨다.
• 내형의 Knapp-Stein R-군은 Arthur의 엔도스코픽 R-군과 동형이며, 이는 Arthur의 추측이 이 설정에서 성립함을 확인한다.
• $L$-패키지 $\Pi_\phi(M^\prime)$ 가 싱글턴일 경우, 분할 군과 내형의 상응 표현에 대한 R-군은 서로 동형이다: $R_\sigma = R_{\sigma^\prime}$.
• Weyl 군의 $L$-패키지에 대한 작용은 Langlands 매개변수의 특성 편향에 의해 제어되며, R-군의 구조는 몫 $\bar{W}/W(\sigma^\prime)$ 를 통해 이 작용을 반영한다.