[논문 리뷰] Transfer operators and Hankel transforms between relative trace formulas

Yiannis Sakellaridis|arXiv (Cornell University)|2018. 04. 06.

Advanced Algebra and Geometry인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 종단성 스칼라 전이 인자들을 일반화하는 상대적 트레이스 공식(RTFs) 간의 아벨 전이 연산자를 도입하여, 푸리에 급수 공식을 통해 전역적 비교를 가능하게 한다. 이 연산자들은 헨켈 변환에 의해 지배되고 아벨 구조를 가지며, 비아벨 조화 해석학에서 함의론을 실현함을 보여주며, 특히 명시적 헨켈 연산자를 통해 쿠즈네츠프 공식과 대칭제곱 L함수를 연결한다.

ABSTRACT

The Langlands functoriality conjecture, as reformulated in the beyond endoscopy program, predicts comparisons between the (stable) trace formulas of different groups $G_1, G_2$ for every morphism ${^LG}_1 o {^LG}_2$ between their $L$-groups. This conjecture can be seen as a special case of a more general conjecture, which replaces reductive groups by spherical varieties and the trace formula by its generalization, the relative trace formula (RTF). The goal of this article is to demonstrate, by example, the existence of betweeen RTFs, that generalize the scalar transfer factors of endoscopy. These transfer operators have all properties that one could expect from a trace formula comparison: matching, fundamental lemma for the Hecke algebra, transfer of (relative) characters. Most importantly, and quite surprisingly, they appear to be of abelian nature, even though they encompass functoriality relations of non-abelian harmonic analysis. Thus, they are amenable to application of the Poisson summation formula in order to perform the global comparison. Moreover, we show that these abelian transforms have some structure as deformations of well-understood operators when the spaces under consideration are replaced by their asymptotic cones. In the article, we develop the local theory behind Rudnick's 1990 thesis (comparing the stable trace formula for $SL_2$ with the Kuznetsov formula) and Venkatesh's 2002 thesis (providing a beyond endoscopy proof of functorial transfer from tori to $GL_2$). As it turns out, the latter is not completely disjoint from endoscopic transfer. We also study the functional equation of the symmetric-square $L$-function for $GL_2$, and show that it is governed by an explicit Hankel operator at the level of the Kuznetsov formula, which is also of abelian nature. Most of our proofs rely on Rankin--Selberg theory.

연구 동기 및 목표

• 상대적 트레이스 공식(RTFs) 간의 전이 연산자를 통해 종단성 전이 인자들을 일반화하는 일반적 프레임워크를 수립하는 것.
• 이러한 전이 연산자가 비아벨 함의론 관계를 캡슐화하고 있음에도 불구하고, 그 본질이 아벨적임을 보여주는 것.
• 초종단성 프로그램 내에서 루딤크(1990)와 벤카테슈(2002)의 국소 이론들을 통합하고 확장하는 것.
• GL₂에 대한 대칭제곱 L함수의 함수방정식이 쿠즈네츠프 공식 수준에서 명시적 헨켈 연산자에 의해 지배됨을 보여주는 것.
• 랭킨-셀버그 방법을 통해 전역적 비교를 뒷받침하는 체계적인 국소 이론을 제공하는 것.

제안 방법

• 종단성 다양체로의 확장된 프레임워크를 통해 RTFs 간의 국소 전이 연산자 이론을 개발한다.
• 랭킨-셀버그 이론을 사용하여 전이 연산자의 성질을 유도하고 검증하며, 히케 대수에 대한 매칭, 기본논문, 특성 전이 성질을 포함한다.
• 전이 연산자의 아벨적 성질을 활용하여 전역적 비교에 푸리에 급수 공식을 적용한다.
• 기저가 되는 공간들의 점점 커지는 원뿔(asymptotic cone)을 분석하여 기존 연산자의 변형을 이해한다.
• 대칭제곱 L함수의 함수방정식이 쿠즈네츠프 공식에 작용하는 명시적 헨켈 연산자로부터 유도됨을 규명한다.
• 명시적 전이 메커니즘을 통해 SL₂의 RTF와 쿠즈네츠프 공식 간의 연결을 수립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 상대적 트레이스 공식 간의 전이 연산자를 어떻게 구성하여 종단성 전이를 일반화할 수 있는가?
• RQ2 이러한 전이 연산자가 아벨적 대비 비아벨 조화 해석학과 관련하여 어떤 구조적 성질을 갖는가?
• RQ3 초종단성 프로그램은 루딤크와 벤카테슈의 국소 이론들을 어느 정도 통합하는가?
• RQ4 GL₂에 대한 대칭제곱 L함수의 함수방정식은 쿠즈네츠프 공식에 어떻게 표현되는가?
• RQ5 아벨 전이 연산자를 통해 푸리에 급수 공식을 효과적으로 전역적 비교에 적용할 수 있는가?

주요 결과

• 상대적 트레이스 공식 간의 전이 연산자는 아벨적 성격을 지니며, 이는 전역적 비교에 푸리에 급수 공식을 적용할 수 있게 한다.
• 이 연산자들은 종단성에서 유래한 스칼라 전이 인자를 일반화하며, 매칭, 기본논문, 특성 전이 성질을 모두 만족한다.
• GL₂에 대한 대칭제곱 L함수의 함수방정식은 쿠즈네츠프 공식 수준에서 명시적 헨켈 연산자에 의해 지배된다.
• 국소 이론은 루딤크(1990)와 벤카테슈(2002)의 결과를 통합하고 확장하며, 종단성 전이와의 비상호배제성(비불일치성)을 보여준다.
• 전이 연산자의 변형은 기저가 되는 종단성 다양체의 점점 커지는 원뿔의 구조와 대응한다.
• 랭킨-셀버그 이론은 전이 연산자의 핵심 성질을 유도하고 검증하는 기초 프레임워크를 제공한다.