[논문 리뷰] Transformation of quantum states using uniformly controlled rotations

Mikko Möttönen, Juha J. Vartiainen외 2명|ArXiv.org|2004. 07. 01.

Geophysics and Sensor Technology인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 균일하게 제어되는 로테이션을 사용하여 임의의 n-qubit 양자 상태를 원하는 목표 상태로 변환하는 양자 회로를 제안한다. 이는 2^{n+2}−4n−4개의 CNOT 게이트와 2^{n+2}−5개의 1-qubit 로테이션을 사용하여 이뤄지며, 이는 이전 방법에 비해 회로 복잡도를 크게 감소시키며, 필요한 로테이션 각도에 대한 폐쇄형 해석식을 제공한다.

ABSTRACT

We consider a unitary transformation which maps any given state of an $n$-qubit quantum register into another one. This transformation has applications in the initialization of a quantum computer, and also in some quantum algorithms. Employing uniformly controlled rotations, we present a quantum circuit of $2^{n+2}-4n-4$ CNOT gates and $2^{n+2}-5$ one-qubit elementary rotations that effects the state transformation. The complexity of the circuit is noticeably lower than the previously published results. Moreover, we present an analytic expression for the rotation angles needed for the transformation.

연구 동기 및 목표

• 임의의 n-qubit 양자 상태를 원하는 목표 상태로 변환하는 저복잡도의 양자 회로를 개발하기 위해.
• 양자 알고리즘에서 상태 준비에 필요한 기본 게이트—특히 CNOT 및 1-qubit 로테이션의 수를 줄이기 위해.
• 변환 과정에서 필요로 하는 로테이션 각도를 계산하는 해석적 공식을 제공하기 위해.
• 일반적인 양자 상태 변환에 대한 회로 복잡도에 대한 새로운 상한을 설정하기 위해.
• 특히 균일하게 제어되는 y- 및 z-로테이션을 병합하고 순서를 재배열하여 회로를 단순화하기 위해.

제안 방법

• 상태 변환을 세 단계로 분해한다: 입력 상태의 위상을 정렬하는 단계, 목표 상태의 크기와 일치시키는 단계, 목표 상태의 위상을 정렬하는 단계.
• 핵심 구성 요소로 균일하게 제어되는 로테이션(F^k_m(a,α))을 사용하며, 여기서 k개의 제어 큐비트는 목표 큐비트에 대해 지정된 축(x, y, 또는 z)을 중심으로 회전을 제어한다.
• 로테이션 각도는 재귀 공식을 사용하여 해석적으로 계산한다: y-로테이션의 경우 α_j,k^y = 2·arcsin(√(Σ|a_{(2j-1)2^{k-1}+l}|² / Σ|a_{(j-1)2^k + l}|²))이며, z-로테이션의 경우 α_j,k^z = (ω_{(2j-1)2^{k-1}+l} - ω_{(2j-2)2^{k-1}+l}) / 2^{k-1}이다.
• 회로 구축은 하향식 재귀적 접근을 사용하며, 마지막 큐비트에서 시작하여 뒤로 거슬러 올라가며, 점진적으로 상태를 계산 기저 상태 |e₁⟩로 감소시킨다.
• 대각선(z-로테이션) 게이트를 제어선을 통해 이동시키고, 인접한 y-로테이션을 병합함으로써 회로를 단순화하여, 중복된 제어를 제거함으로써 CNOT 게이트 수를 줄인다.
• 최종 회로는 |a⟩에서 |e₁⟩로의 상태 준비 회로와 |e₁⟩에서 |b⟩로의 역회로를 연결하여 구성되며, 각도를 조정한 동일한 게이트 구조를 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이전 방법보다 더 적은 CNOT 및 1-qubit 게이트로 일반적인 n-qubit 양자 상태 변환을 구현할 수 있는가?
• RQ2 두 개의 n-qubit 상태 사이에서 임의의 유니터리 변환을 수행하기 위해 필요한 최소한의 기본 게이트 수는 얼마인가?
• RQ3 균일하게 제어되는 로테이션 기반의 상태 준비 회로에서 로테이션 각도에 대한 폐쇄형 해석식을 유도할 수 있는가?
• RQ4 균일하게 제어되는 로테이션을 최적의 방식으로 조합하고 재정렬하여 회로 깊이와 게이트 수를 줄일 수 있는가?
• RQ5 초기 상태 또는 최종 상태가 계산 기저 상태 |e_i⟩일 경우 어떤 단순화가 발생하는가?

주요 결과

• 제안된 회로는 임의의 n-qubit 상태 |a⟩에서 임의의 목표 상태 |b⟩로의 변환을 2^{n+2}−4n−4개의 CNOT 게이트와 2^{n+2}−5개의 1-qubit 로테이션을 사용하여 수행하며, 이는 회로 복잡도에 대한 새로운 상한을 제공한다.
• 이 방법은 로테이션 각도에 대한 폐쇄형 해석식을 제공하며, y-로테이션의 경우 α_j,k^y = 2·arcsin(√(Σ|a_{(2j-1)2^{k-1}+l}|² / Σ|a_{(j-1)2^k + l}|²))이며, z-로테이션의 경우 α_j,k^z = (ω_{(2j-1)2^{k-1}+l} - ω_{(2j-2)2^{k-1}+l}) / 2^{k-1}이다.
• 이 회로 복잡도는 완전한 QR 분해 방법보다 크게 낮으며, 전체 변환에 대해 약 12.6×2^n개의 CNOT 게이트가 필요한 반면, 본 방법은 이보다 훨씬 적은 수를 사용한다.
• 초기 상태 또는 최종 상태가 계산 기저 상태 |e_i⟩일 경우 게이트 수가 반으로 줄어들며, CNOT 및 1-qubit 로테이션 게이트의 수가 반으로 감소한다.
• 대각선 z-로테이션 게이트를 제어선을 통해 이동시키고, 인접한 y-로테이션을 병합함으로써 효율적인 게이트 병합이 가능하여 총 CNOT 수가 감소한다.
• 회로 구조는 최적화되어 있으며, 1-qubit 로테이션 수가 이론적 하한 2^{n+1}−2에 상수 오프셋을 제외하고 정확히 일치하며, CNOT 수는 이론적 최소값 ⌈(1/4)(2^{n+1}−3n−2)⌉에 가까워진다.