[논문 리뷰] Transformation theory and Christoffel formulas for matrix biorthogonal polynomials on the real line

Carlos Álvarez-Fernández, Gerardo Ariznabarreta외 3명|arXiv (Cornell University)|2016. 05. 16.

Matrix Theory and Algorithms참고 문헌 57인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 일반적인 준정규 세미선형형식 하에서 실수선 위의 행렬 이직교다항식에 대한 변환 이론과 크리스토펠 유사 공식을 개발한다. 가우스–보렐 분해와 스펙트럴/비스펙트럴 기법을 사용하며, 제로니무스, 제로니무스–우바로프, 그리고 우바로프 변환에 대한 명시적 공식을 유도하여 변형된 다항식과 노름의 계산을 가능하게 한다. 이는 비아벨 2차원 토다 및 비가환 KP 계열에 응용된다.

ABSTRACT

In this paper transformations for matrix orthogonal polynomials in the real line are studied. The orthogonality is understood in a broad sense, and is given in terms of a nondegenerate continuous sesquilinear form, which in turn is determined by a quasidefinite matrix of bivariate generalized functions with a well defined support. The discussion of the orthogonality for such a sesquilinear form includes, among others, matrix Hankel cases with linear functionals, general matrix Sobolev orthogonality and discrete orthogonal polynomials with an infinite support. The first transformation considered is that of Geronimus type, two different methods are developed. A spectral one, based on the spectral properties of the perturbing polynomial, and constructed in terms of the second kind functions. Then, using spectral techniques and spectral jets, Christoffel-Geronimus formulas for the transformed polynomials and norms are presented. For this type of transformations, the paper also proposes an alternative method, which does not require of spectral techniques. A discussion on matrix spectral linear transformations is presented, as well. These transformations can be understood as rational perturbations of the matrix of bivariate generalized functions together with an addition of appropriate masses, determined these last ones by the spectral properties of the polynomial denominator. As for the Geronimus case, two techniques are applied, spectral and mixed spectral/nonspectral. Christoffel--Geronimus--Uvarov formulas are found with both approaches and some applications are given. The transformation theory is finally discussed in the context of the 2D non-Abelian Toda lattice and noncommutative KP hierarchies, understood as the theory of continuous transformations of quasidefinite sesquilinear forms. This approach allows for the finding of perturbed quasitau and Baker matrices.

연구 동기 및 목표

• 일반적인 준정규 세미선형형식 하에서 실수선 위의 행렬 이직교다항식에 대한 포괄적인 변환 이론을 개발하는 것.
• 원래 다항식들로 표현된 변형된 행렬 이직교다항식과 그들의 노름을 나타내는 크리스토펠 유사 공식을 도출하는 것.
• 행렬 직교다항식 변환과 통합계열, 특히 비아벨 2차원 토다 및 비가환 KP 계열 간의 연결 고리를 설정하는 것.
• 정규 행렬 계수를 가진 경우뿐만 아니라 특이 행렬 계수를 가진 경우에도 적용 가능한 스펙트럴 및 비스펙트럴 방법을 제공하여 행렬 다항식의 변형을 다루는 것.
• 기존의 선형 스펙트럴 변환 이론을 확장하여 행렬 설정에서의 크리스토펠, 제로니무스, 우바로프 유형을 통합하고 확장하는 것.

제안 방법

• 변환 공식 유도의 중심적인 대수적 도구로 그램 행렬의 가우스–보렐 분해를 사용한다.
• 특히 주계수 행렬이 비특이일 경우에 적합한, 행렬 다항식의 스펙트럴 성질에 기반한 스펙트럴 기법을 적용한다.
• 주계수 행렬이 특이할 경우에도 적용 가능한 비스펙트럴 방법을 도입하여, 유니모듈라 및 일반적인 행렬 다항식 변형을 다룰 수 있도록 한다.
• 스펙트럴 제트와 크리스토펠–다르부 커널을 사용하여 변형된 다항식과 제2종 함수를 표현한다.
• 경로 적분과 카우치 유사 공식을 활용하여 베이커 함수, 이직교다항식, τ-비율 행렬 함수 간의 이중항 항등식을 도출한다.
• 특수한 경우, 예를 들어 이산 소볼레프 행렬 직교다항식과 일차 다항식을 가진 행렬 호도그래픽 변형에 이 те올리를 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반적인 준정규 세미선형형식 하에서 크리스토펠 유사 공식을 행렬 이직교다항식으로 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 변형 행렬 다항식의 주계수가 특이할 경우, 제로니무스 유형 변환을 계산하기 위한 스펙트럴 및 비스펙트럴 방법은 무엇인가?
• RQ3 제로니무스–우바로프 및 우바로프 변환은 행렬 이직교다항식과 그들의 노름의 구조에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ4 행렬 다항식 변형 하에서 대칭성을 유지하는 데서 여인버스와 준행렬식의 역할은 무엇인가?
• RQ5 이러한 행렬 직교다항식 변환은 비아벨 2차원 토다 및 비가환 KP 계열과 같은 통합계열과 어떻게 관련되어 있는가?

주요 결과

• 주계수가 비특이일 경우 스펙트럴 기법을 사용하여 크리스토펠–제로니무스 공식을 도출하였으며, 변형된 다항식과 제2종 함수를 스펙트럴 제트로 표현하였다.
• 주계수가 특이할 경우에도 적용 가능한 비스펙트럴 방법을 개발하여, 유니모듈라 크리스토펠 변형을 다룰 수 있도록 하였다.
• 유니모듈라 행렬 다항식의 경우, 질량이 없는 일차 제로니무스 변형의 단순한 예를 제시하여 공식의 적용 가능성을 입증하였다.
• 스펙트럴/비스펙트럴 혼합 공식을 제로니무스–우바로프 변환에 대해 도출하였으며, 대칭 및 호도그래픽 변형에의 응용을 포함한다.
• 크리스토펠–다르부 커널의 스펙트럴 제트를 사용하여 크리스토펠–우바로프 공식을 확립하였으며, 이는 변형된 노름과 다항식의 명시적 계산을 가능하게 하였다.
• 베이커 함수, 이직교다항식, τ-비율 행렬 함수 간의 이중항 항등식을 증명하였으며, 므이와 이동과 사토 공식을 통해 변환 이론과 통합계열 간의 연결 고리를 확립하였다.