[논문 리뷰] Transformations between attractors of hyperbolic iterated function systems

Michael F. Barnsley|ArXiv.org|2007. 03. 14.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 13인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 코드 공간 구조와 프랙탈 톱을 사용하여 하이퍼볼릭 반복기하함수계(IFS)의 애트랙터 간의 프랙탈 변환을 제안한다. 코드 공간이 하나의 IFS에 포함되어 있을 경우, 첫 번째 애트랙터를 두 번째 애트랙터로 보내는 연속적 변환이 존재하며, 코드 공간이 동일할 경우 이 변환은 호메오모르피즘이다. 이는 호메오모르픽인 IFS 애트랙터가 동일한 위상 엔트로피를 가짐을 의미한다.

ABSTRACT

This paper is in the form of an essay. It defines fractal tops and code space structures associated with set-attractors of hyperbolic iterated function systems (IFSs). The fractal top of an IFS is associated with a certain shift invariant subspace of code space, whence the entropy of the IFS, and of its set-attractor, may be defined. Given any ordered pair of hyperbolic IFSs, each with the same number of maps, there is a natural transformation, constructed with the aid of fractal tops, whose domain is the attractor A of the first IFS and whose range is contained in the attractor B of the second IFS. This transformation is continuous when the code space structure of the IFS is "contained in" the code space structure of the second IFS, and is a homeomorphism between A and B when the code space structures are the same. Conversely, if two IFS are homeomorphic then they possess the same code space structure. Hence we obtain that two IFS attractors are homeomorphic then they have the same entropy. Several examples of fractal transformations and fractal homeomphisms are given.

연구 동기 및 목표

• 프랙탈 톱과 코드 공간의 불변성을 이용하여 하이퍼볼릭 IFS 애트랙터 간의 자연스러운 변환을 정의하기.
• 이러한 변환이 연속적이거나 호메오모르피즘일 조건을 설정하기.
• IFS 애트랙터의 위상 엔트로피를 그 기반 코드 공간의 구조와 연결하기.
• 코드 공간에서의 시프트 동역학을 통해 위상 엔트로피의 기하학적 해석을 제공하기.
• 호메오모르픽인 IFS 애트랙터는 반드시 동일한 코드 공간 구조를 가져야 하며, 따라서 동일한 엔트로피를 가져야 한다는 것을 보여주기.

제안 방법

• N개의 기호로 이루어진 알파벳에 대한 무한 수열의 집합으로 코드 공간 Ω를 정의하고, 첫 번째로 다름이 생기는 인덱스 k에 대해 거리 함수 dΩ(σ,ω) = 2−k 를 부여한다.
• 프랙탈 톱을 코드 공간의 시프트 불변 부분공간으로 정의하고, 톱 함수 τF: AF → ΩF를 정의한다.
• 코드 공간에서의 시프트 변환과 주소 함수의 역함수를 조합하여 변환 TF: AF → AF 를 구성한다.
• 주소 함수 φF: ΩF → AF 를 사용하여 코드 수열을 애트랙터 내 점으로 매핑하며, 이 함수는 연속성과 전사성을 보장한다.
• 만약 ΩF ⊆ ΩG 이면, AF 에서 AG 로의 변환이 연속적이며, ΩF = ΩG 이면 이 변환은 호메오모르피즘이다.
• 이러한 호메오모르피즘 하에서 IFS의 위상 엔트로피가 유지됨을 증명하며, 엔트로피를 코드 공간 구조와 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 두 하이퍼볼릭 IFS의 애트랙터 사이에 연속적 변환이 존재하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 이러한 변환이 IFS 애트랙터 간의 호메오모르피즘일 조건은 무엇인가?
• RQ3 IFS 애트랙터의 위상 엔트로피는 그 코드 공간 구조와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 코드 공간의 조합 구조만을 사용하여 프랙탈 변환을 구성할 수 있는가?
• RQ5 코드 공간의 불변성과 IFS 애트랙터의 위상 엔트로피 사이의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 첫 번째 IFS의 코드 공간이 두 번째 IFS의 코드 공간에 포함되어 있을 경우, 첫 번째 애트랙터 A₁ 에서 두 번째 애트랙터 A₂ 로의 연속적 변환이 존재한다.
• 두 IFS의 코드 공간 구조가 동일할 경우, 이들의 애트랙터 사이에 유도된 변환은 호메오모르피즘이다.
• 호메오모르픽인 IFS 애트랙터는 반드시 동일한 코드 공간 구조를 가져야 하며, 이는 위상 엔트로피가 이러한 호메오모르피즘 하에서 불변임을 의미한다.
• IFS 애트랙터의 위상 엔트로피는 그 코드 공간에서의 대응 시프트 동역계의 엔트로피들의 하한값으로 정의될 수 있다.
• 프랙탈 톱 함수 τF 는 주소 함수 φF 에 대한 연속적 역함수를 제공하며, 이는 코드 공간에서의 시프트와 동역학적으로 동치인 시스템을 애트랙터 위에 구성할 수 있게 한다.
• 톱 함수 τF 가 연속적일 경우, IFS 애트랙터의 위상 엔트로피는 그 코드 공간에서의 시프트 변환의 엔트로피와 동일하며, 이는 엔트로피의 기하학적 정의를 확립한다.