[논문 리뷰] Transformations between nonlocal and local integrable equations

Bo Yang, Jianke Yang|arXiv (Cornell University)|2017. 04. 30.

Nonlinear Waves and Solitons참고 문헌 31인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 PT 대칭 NLS, 데이비 스튜어트슨, 수정 KdV 방정식과 같은 광범위한 비국소적 적분 가능 방정식의 클래스를 국소적 대응 방정식으로 변환하는 간단한 변수 변환을 제안한다. 이러한 변환은 비국소적 방정식의 적분 가능성을 입증하고, 국소적 해를 바탕으로 해를 해석적으로 구성할 수 있도록 하며, 비국소적 단층 펄스, 사사-사츠마, 비선형 확산 방정식을 포함한 새로운 비국소적 방정식 유형을 도출할 수 있다.

ABSTRACT

Recently, a number of nonlocal integrable equations, such as the PT-symmetric nonlinear Schrodinger (NLS) equation and PT-symmetric Davey-Stewartson equations, were proposed and studied. Here we show that many of such nonlocal integrable equations can be converted to local integrable equations through simple variable transformations. Examples include these nonlocal NLS and Davey-Stewartson equations, a nonlocal derivative NLS equation, the reverse space-time complex modified Korteweg-de Vries (CMKdV) equation, and many others. These transformations not only establish immediately the integrability of these nonlocal equations, but also allow us to construct their analytical solutions from solutions of the local equations. These transformations can also be used to derive new nonlocal integrable equations. As applications of these transformations, we use them to derive rogue wave solutions for the partially PT-symmetric Davey-Stewartson equations and the nonlocal derivative NLS equation. In addition, we use them to derive multi-soliton and quasi-periodic solutions in the reverse space-time CMKdV equation. Furthermore, we use them to construct many new nonlocal integrable equations such as nonlocal short pulse equations, nonlocal nonlinear diffusion equations, and nonlocal Sasa-Satsuma equations.

연구 동기 및 목표

• 비국소적 적분 가능 방정식을 등가의 국소적 적분 가능 방정식으로 변환하는 체계적인 방법을 수립하기 위해.
• 국소적 방정식의 알려진 해를 활용하여 비국소적 대응 방정식의 해석적 해를 구성하기 위해.
• 변환 기법을 통해 새로운 비국소적 적분 가능 방정식의 유형을 생성하기 위해.
• 이 변환 프레임워크를 사용하여 비국소적 시스템에서 루거 웨이브 및 다중 솔리톤 구조와 같은 해의 역학을 분석하기 위해.
• 비국소적 및 국소적 적분 가능 시스템 간의 깊이 있는 구조적 연결을 비선형 파동 이론에서 명확히 하기 위해.

제안 방법

• 비국소적 방정식을 국소 형태로 매핑하기 위해 복소수 및 시간 역전 변환, 예를 들어 $ x \to i\hat{x}, t \to -\hat{t} $ 를 적용하기 위해.
• 역변환을 사용하여 국소적 방정식의 알려진 해에서 비국소적 방정식의 해를 생성하기 위해.
• 비국소적 방정식을 유도하기 위해 $ x \to ix, t \to it $ 또는 $ x \to ix, t \to -t $ 와 같은 변환 기법을 적용하기 위해.
• 이 변환 프레임워크를 사용하여 비국소적 방정식의 명시적 해, 특히 루거 웨이브 및 다중 솔리톤 해를 유도하기 위해.
• 특정 방정식, 예를 들어 역공간-시간 CMKdV 및 부분적 PT 대칭 DS 방정식에 대해 해를 도출하여 방법의 타당성을 검증하기 위해.
• (2+1)차원 NLS 및 세 웨이브 상호작용 방정식을 포함한 고차원 및 다성분 시스템으로 이 접근법을 확장하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 PT 대칭 NLS 및 데이비 스튜어트슨 방정식과 같은 비국소적 적분 가능 방정식이 간단한 변수 변화를 통해 국소적 적분 가능 방정식으로 변환될 수 있는가?
• RQ2 국소적 적분 가능 방정식의 해는 어떻게 비국소적 대응 방정식의 해석적 해를 구성하는 데 활용될 수 있는가?
• RQ3 이러한 변환 기법을 통해 어떤 새로운 비국소적 적분 가능 방정식의 유형을 도출할 수 있는가?
• RQ4 이 변환 방법을 사용하여 비국소적 시스템에서 루거 웨이브 및 다중 솔리톤과 같은 복잡한 해 구조를 도출할 수 있는가?
• RQ5 이러한 변환을 통해 드러나는 비국소적 및 국소적 적분 가능 방정식 간의 기본적인 구조적 관계는 무엇인가?

주요 결과

• PT 대칭 NLS 방정식은 $ x \to i\hat{x}, t \to -\hat{t} $ 를 통해 국소적 분산 방향 NLS 방정식으로 변환되며, 이는 그 적분 가능성을 확인한다.
• 부분적 PT 대칭 데이비 스튜어트슨 방정식 및 비국소적 도함수 NLS 방정식에 대한 루거 웨이브 해는 국소적 집중 NLS 방정식의 페레그린 해에서 유도된다.
• 역공간-시간 CMKdV 방정식에서의 다중 솔리톤 및 준주기적 해는 국소적 CMKdV 방정식의 해를 변환 기법을 통해 구성된다.
• 이 변환 방법은 비국소적 단층 펄스, 비선형 확산, 사사-사츠마, 채인-리-류 방정식을 포함한 새로운 비국소적 적분 가능 방정식을 생성한다.
• 역공간-시간 비국소적 확산 방정식의 해는 지수적으로 감쇠하지만, 타원 $ 4x^2 + 16t^2 = 1 $ 에서 폭발을 보이며, 이는 유한 시간 특이성을 나타낸다.
• 역공간-시간 사사-사츠마 방정식은 국소적 사사-사츠마 방정식을 $ x \to ix, t \to -it $ 를 통해 유도되며, 다른 방정식들에 대해서도 동일하게 적용되어 그 적분 가능성이 확인된다.