[논문 리뷰] Transition path theory for Langevin dynamics on manifold: optimal control and data-driven solver

Yuan Gao, Tiejun Li외 2명|arXiv (Cornell University)|2020. 10. 20.

Protein Structure and Dynamics참고 문헌 9인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 만곡면 위의 랑주방정식에 의해 지배되는 생화학 시스템에서 희귀 구조 전이를 효율적으로 시뮬레이션하기 위한 데이터 기반 최적 제어 프레임워크를 제안한다. 전이 경로 이론을 최적 제어 문제로 재해석함으로써, 전이 확률 함수 기반 제어를 사용하여 점 클러스터 위에서 최적 제어된 랜덤 워크를 구성함으로써, 희귀 전이가 거의 확실히 O(1) 시간 내에 발생하도록 하고, 局부 평균을 통해 평균 전이 경로를 정확히 계산한다. 이는 합성 데이터와 알라닌 다펩타이드 데이터를 통해 검증되었다.

ABSTRACT

We present a data-driven point of view for rare events, which represent conformational transitions in biochemical reactions modeled by over-damped Langevin dynamics on manifolds in high dimensions. We first reinterpret the transition state theory and the transition path theory from the optimal control viewpoint. Given point clouds sampled from a reaction dynamics, we construct a discrete Markov process based on an approximated Voronoi tesselation. We use the constructed Markov process to compute a discrete committor function whose level set automatically orders the point clouds. Then based on the committor function, an optimally controlled random walk on point clouds is constructed and utilized to efficiently sample transition paths, which become an almost sure event in $O(1)$ time instead of a rare event in the original reaction dynamics. To compute the mean transition path efficiently, a local averaging algorithm based on the optimally controlled random walk is developed, which adapts the finite temperature string method to the controlled Monte Carlo samples. Numerical examples on sphere/torus including a conformational transition for the alanine dipeptide in vacuum are conducted to illustrate the data-driven solver for the transition path theory on point clouds. The mean transition path obtained via the controlled Monte Carlo simulations highly coincides with the computed dominant transition path in the transition path theory.

연구 동기 및 목표

• 희귀 구조 전이를 시뮬레이션하는 데 있어, 큰 시간스케일 분리로 인해 직접 시뮬레이션이 불가능한 고차원 생화학 시스템에서의 도전 과제를 해결하기 위해.
• 알려지지 않은 만곡면에서 샘플링된 점 클러스터만을 사용하여, 기저 만곡면이나 잠재력에 대한 명시적 지식 없이도 작동하는 데이터 기반 접근법을 개발하기 위해.
• 전이 경로 이론과 전이 상태 이론을 무한 시간 할당 최적 제어 문제로 재해석하여, 희귀 사건의 효율적 샘플링을 가능하게 하기 위해.
• 희귀 전이가 거의 확실히 O(1) 시간 내에 발생하도록 하는 최적 제어된 랜덤 워크를 점 클러스터 위에 구성하기 위해.
• 제어된 몬테카를로 샘플에 국한 평균 알고리즘을 적용하여 평균 전이 경로를 효율적으로 계산하기 위해.

제안 방법

• 전이 확률 함수와 그 로그 기울기의 사용을 통해 전이 경로 이론과 전이 상태 이론을 무한 시간 할당 최적 제어 문제로 재해석하기 위해.
• 바르노이 타일링을 통해 점 클러스터 위에 이산 마코프 과정을 구성하여 기저 만곡면 위의 역학을 근사하기 위해.
• 점 클러스터의 목표 상태 향한 진행도를 순서화하는 수준 집합을 갖는 이산 전이 확률 함수를 계산하기 위해.
• 전이 확률 함수에 기반한 최적 제어 법칙 $ v^* = 2\varepsilon \nabla \ln q $ 를 설계하여, 희귀 전이를 가속화하는 제어된 랜덤 워크를 정의하기 위해.
• 효율적 평형 측도 $ \pi^e = q^2 \pi $ 를 사용하여 제어된 랜덤 워크를 지도하고, 정확한 전이 통계로 수렴하도록 보장하기 위해.
• 제어된 몬테카를로 샘플에 적용된 局부 평균 알고리즘(알고리즘 2)을 개발하여, 유한 온도 스트링 방법을 제어 역학에 적응시켜 평균 전이 경로를 계산하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 전이 경로 이론을 최적 제어 문제로 재구성함으로써, 희귀 구조 전이의 효율적 샘플링이 가능할 수 있는가?
• RQ2 점 클러스터 위에서 제어된 랜덤 워크를 어떻게 구성하여 희귀 전이가 거의 확실히 O(1) 시간 내에 발생하도록 할 수 있는가?
• RQ3 기저 만곡면이나 잠재력에 대한 사전 지식 없이도, 제어된 몬테카를로 시뮬레이션에서 평균 전이 경로를 정확히 복원할 수 있는가?
• RQ4 전이 확률 함수에서 유도된 효과적 잠재력 $ U^e $ 는 원래 잠재력과 비교해 전이 장벽 높이 측면에서 어떻게 다를까?
• RQ5 제어된 샘플에 적용된 국소 평균 알고리즘이 TPT에서 유도된 주요 전이 경로를 어느 정도 정확히 재현하는가?

주요 결과

• 제어된 랜덤 워크는 $ 10^5 $ 시뮬레이션 단계 동안 $ C_{ax} $ 에서 $ C_{7eq} $ 로의 전이를 21회 발생시켰으며, 이는 제어 역학 하에서 희귀 사건이 빈번하게 발생함을 보여준다.
• 전이 확률 함수에서 유도된 효과적 잠재력 $ U^e $ 는 $ C_{ax} $ 에서 국소 최대값을 가지며, 원래 잠재력 $ U_{\mathcal{N}} $ 는 날카로운 최소값을 가지므로, 제어 하에서의 전이 촉진 메커니즘을 설명한다.
• 국소 평균 알고리즘(알고리즘 2)을 통해 $ M=100 $ 과 $ L_{\text{max}}=200 $ 일 때 계산된 평균 전이 경로는 토러스와 $ (\phi,\psi) $ 평면 양쪽 모두에서 TPT에서 유도된 주요 전이 경로와 완벽하게 일치한다.
• 알고리즘은 알라닌 다펩타이드의 구조 전이, 즉 $ C_{ax} $ 에서 $ C_{7eq} $ 로의 전이에 대해 주요 전이 경로를 성공적으로 복원하였으며, 이는 이전 다른 방법의 결과와 일치한다.
• 이 방법은 합성 데이터(구면/토러스)와 실제 생물분자 데이터 모두에서 정확한 경로 복원을 달성하여 강건성과 데이터 기반 적용 가능성의 타당성을 입증한다.
• 전이 확률 함수의 수준 집합은 점 클러스터의 자연스러운 순서를 제공하며, 반응 좌표에 대한 사전 지식 없이도 물리적으로 의미 있는 전이 좌표를 구성할 수 있음을 보여준다.