[논문 리뷰] Transitivity Correlation: Measuring Network Transitivity as Comparative Quantity

David Dekker, David Krackhardt외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 08. 02.

Complex Network Analysis Techniques참고 문헌 27인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 기존의 클러스터링 계수의 한계를 보완하기 위해 두 가지 새로운 네트워크 전이성 측정법—전이성 피(phi, TPhi)와 전이성 상관계수(TC)—를 도입한다. TPhi는 두 경로를 통한 간접적 연결이 존재할 경우 직접 연결의 상대적 경향성을 수량화하지만, TC는 모든 중간 점을 통해의 두 경로 수와 직접 연결의 존재 여부 간의 상관계수를 측정하여, 바람개비 모양의 네트워크와 같이 높은 구조적 전이성을 띤 네트워크에서 1에 수렴하는 등 전이성을 더 잘 반영한다. TPhi는 이와 반대로 0에 수렴한다.

ABSTRACT

This paper proposes that common measures for network transitivity, based on the enumeration of transitive triples, do not reflect the theoretical statements about transitivity they aim to describe. These statements are often formulated as comparative conditional probabilities, but these are not directly reflected by simple functions of enumerations. We think that a better approach is obtained by considering the linear regression coefficient of ties $i\, ightarrow\,j$ on the number of two-paths $i\, ightarrow\,k ightarrow\,j$ for the $(n-2)$ possible intermediate nodes $k$. Two measures of transitivity based on correlation coefficients between the existence of a tie and the existence, or the number, of two-paths are developed, and called "Transitivity Phi" and "Transitivity Correlation". Some desirable properties for these measures are studied and compared to existing clustering coefficients, in both random (Erdös-Renyi) and in stylized networks (windmills). Furthermore, it is shown that under the condition of zero Transitivity Correlation, the total number of transitive triples is determined by four underlying features of any directed graph: size, density, reciprocity, and the covariance between indegrees and outdegrees. Also, it is demonstrated that plotting conditional probability of ties, given the number of two-paths, provides valuable insights into empirical regularities and irregularities of transitivity patterns.

연구 동기 및 목표

• 이론적 전이성 정의—비교적 조건부 확률 기반—과 기존의 전이삼중체 수를 단순 세는 방식에 의존하는 측정법 사이의 괴리 문제를 해결하기 위해.
• 간접 경로가 존재할 경우 직접 연결의 경향성이 증가하는 것을 반영하는 측정법을 개발하여 사회망 이론에서의 전이성 개념 정의와 일치시키기 위해.
• 절대적 측정이 아닌 비교적 측정을 제공하여, 크기와 밀도가 다른 네트워크 간의 유효한 비교를 가능하게 하기 위해.
• 전이성은 삼중체 수의 기능이 아니며, 크기, 밀도, 상호성, 차수 공분산의 네 가지 구조적 특성에 의해 결정됨을 보여주기 위해.
• 두 경로 수를 조건으로 한 조건부 연결 확률을 그림으로 그려보면 실제 네트워크에서의 전이성 행동 패턴과 비정상 현상을 드러내기 위해.

제안 방법

• 전이성 피(TPhi)를 정의: 임의로 선택한 중간 점 k를 통해 형성되는 단일 랜덤 두 경로(i→k→j) 존재 여부와 직접 연결(i,j) 존재 여부 간의 상관계수로 정의한다.
• 전이성 상관계수(TC)를 정의: 모든 가능한 중간 점 k를 통해 형성되는 두 경로 수의 총합과 직접 연결(i,j) 존재 여부 간의 상관계수로 정의한다.
• 선형 회귀 분석을 통해 연결 지표를 두 경로 수에 대해 회귀함으로써 상관계수 기반 측정법을 유도하며, 각 노드 쌍을 랜덤 표본으로 간주한다.
• 스타일라이즈드 네트워크(예: 바람개비 그래프)와 무작위 에르되시-레니 그래프를 분석하여 측정법의 행동 양상과 해석 가능성 비교.
• TC = 0이 되는 이론적 조건을 유도함으로써, 이 조건이 네트워크의 크기, 밀도, 상호성, 그리고 진입 및 진출 차수 간 공분산의 특정 조합과 동치임을 보여줌.
• 에고 네트워크(노드와 그 진출 이웃들로 구성된 유도 부분그래프)를 기반으로 두 측정법의 계산을 수행함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 간접 경로 존재 시 직접 연결의 경향성이 증가한다는 이론적 정의를 반영할 수 있는 전이성 측정법은 무엇인가?
• RQ2 기존의 클러스터링 계수는 왜 전이성의 비교적 성향을 반영하지 못하며, 이를 어떻게 수정할 수 있는가?
• RQ3 전이성 상관계수의 값은 어떤 구조적 특성에 의해 결정되며, TC가 0이 되는 조건은 닫힌 형태로 기술할 수 있는가?
• RQ4 TPhi와 TC는 바람개비와 같은 높은 전이성 네트워크에서 어떻게 다른 행동 양태를 보이는가?
• RQ5 두 경로 수를 조건으로 한 조건부 연결 확률을 시각화하면 실제 세계 네트워크에서 의미 있는 경험적 패턴을 드러낼 수 있는가?

주요 결과

• 바람개비 그래프에서 전이성 상관계수(TC)는 날개 수가 많아질수록 1에 수렴하여 강력한 전이성 구조를 반영함을 보여주며, 반면 전이성 피(TPhi)는 0에 수렴함으로써 TC가 이러한 경우에 더 나은 전이성 반영을 함을 시사한다.
• TC가 0이 되는 것은 네트워크의 크기, 밀도, 상호성, 그리고 진입-진출 차수 간 공분산이 특정한 조합 조건을 만족할 때에만 성립함을 보여주며, 깊은 구조적 제약 조건을 드러낸다.
• 에르되시-레니 모델 하에서 클러스터링 계수는 전이성과 관계없이 (0,1)의 어떤 값이든 취할 수 있음을 보여주며, 이는 그 측정법이 비교적 경향성을 반영하지 못함을 시사한다.
• 두 경로 수를 조건으로 한 조건부 연결 확률을 그림으로 그려보면 전이성의 경험적 규칙성과 비정상 현상(예: 선형성에서의 이탈)이 드러나며, 숨겨진 메커니즘이 존재할 수 있음을 시사한다.
• 완전한 부분그래프로 이루어진 분리된 네트워크에서 TC와 TPhi는 모두 1에 도달함을 보여주며, 이는 최대 전이성이 상관계수 측정법으로 유일하게 반영되지 않음을 시사한다.
• 제안된 측정법은 네트워크 크기와 밀도에 영향을 받지 않아 다양한 네트워크 간 유효한 비교가 가능하며, 기존의 클러스터링 계수와는 달리 이에 뒤지지 않는다.