[논문 리뷰] Translatable radii of an operator in the direction of another operator II

Kallol Paul|arXiv (Cornell University)|2010. 07. 29.

Matrix Theory and Algorithms참고 문헌 3인용 수 18

한 줄 요약

이 논문은 힐버트 공간 위의 유계 선형 연산자 $ T $와 $ A $에 대해, $ Tf $의 $ Af $에 대한 수직 성분의 노름의 상한으로 정의된 번역 가능 반경 $ M_T(A) $를 조사한다. 일반화된 고유값 문제 $ Tf = \lambda Af $에서 단위 벡터가 정적 거리 벡터가 되는 필요 및 충분 조건을 도출하고, Williams의 정리를 일반화하여 $ M_T(A)^2 $를 $ T^*T $, $ A^*T $, $ A^*A $를 포함하는 함수형에 대한 상태의 상한으로 표현함으로써, 스펙트럼 이론과 수치 영역 이론을 방향성 연산자 변형으로 확장한다.

ABSTRACT

One of the couple of translatable radii of an operator in the direction of another operator introduced in earlier work[13] is studied in details. A necessary and sufficient condition for a unit vector f to be a stationary vector of the generalized eigenvalue problem $ Tf = λA f $ is obtained. Finally a theorem of Williams[16] is generalized to obtain a translatable radius of an operator in the direction of another operator.

연구 동기 및 목표

• 일반화된 고유값 문제 $ Tf = \lambda Af $에서 $ Tf $가 고유벡터가 되는 데서 벗어나는 정도를 최소화하거나 최대화하는 벡터를 특성화하는 것.
• 이 일반화된 설정에서 단위 벡터가 정적 거리 벡터가 되는 데 필요한 필요 및 충분 조건을 설정하는 것.
• 다른 연산자 $ A $의 방향으로의 방향성 이동에 대해 Williams의 정리에서의 연산자 노름을 일반화하는 것.
• 연산자 기하학과 함수해석학을 연결하기 위해 $ M_T(A) $를 $ T^*T $, $ A^*T $, $ A^*A $를 포함하는 함수형에 대한 상태의 상한으로 표현하는 것.

제안 방법

• 번역 가능 반경을 $ M_T(A) = \sup_{\|f\|=1} \left\| Tf - \frac{(Tf, Af)}{(Af, Af)} Af \right\| $로 정의하여, $ Tf $의 $ Af $에 수직인 성분의 노름을 측정한다.
• 방향 도함수를 통한 정적 벡터 개념을 사용: 단위 벡터 $ f $가 모든 방향 $ g $에서 $ M_T^2(f) $의 도함수가 0이면 정적이다. 이는 임계점 조건을 이끈다.
• 필요 및 충분 조건을 유도: $ (T^* - \bar{\lambda}A^*)(T - \lambda A)f = \|h\|^2 f $, 여기서 $ h = Tf - \lambda Af $ 이고 $ \lambda = (Tf, Af)/(Af, Af) $이다.
• 만약 $ M_T(A) $가 어떤 벡터 $ f $에서 달성된다면, $ M_{T^*}(A^*) $는 $ h/\|h\| $에서 달성됨을 증명하여 쌍대 문제 간의 관계를 설정한다.
• 단위 구의 약한 컴acts를 사용하여, $ M_T(A)^2 $의 상한을 달성하는 수열 $ \{f_n\} $이 약한 극한을 갖는다. 이 극한이 0이 아니면, 그 극한이 반경을 달성한다.
• Williams의 정리를 일반화하기 위해 $ M_T(A)^2 = \sup_{g \in \mathcal{P}} \left( g(T^*T) - \frac{|g(A^*T)|^2}{g(A^*A)} \right) $를 증명한다. 여기서 $ \mathcal{P} $는 $ g(A^*A) \neq 0 $인 상태의 집합이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반화된 고유값 문제 $ Tf = \lambda Af $에서 단위 벡터 $ f $가 정적 거리 벡터가 되는 데 필요한 필요 및 충분 조건은 무엇인가요?
• RQ2 어떤 조건에서 번역 가능 반경 $ M_T(A) $가 특정한 벡터에서 달성되는가요?
• RQ3 $ M_T(A) $의 달성이 상한을 달성하는 단위 벡터 수열의 약한 극한과 어떻게 관련되어 있는가요?
• RQ4 Williams의 정리에서의 연산자 노름은 다른 연산자 $ A $의 방향으로의 방향성 이동의 경우로 일반화될 수 있는가요?
• RQ5 번역 가능 반경 $ M_T(A) $와 $ T^*T $, $ A^*T $, $ A^*A $를 포함하는 함수형에 대한 상태의 상한 사이의 관계는 무엇인가요?

주요 결과

• 단위 벡터 $ f $가 일반화된 고유값 문제 $ Tf = \lambda Af $에서 정적 거리 벡터일 필요 및 충분 조건은 $ (T^* - \bar{\lambda}A^*)(T - \lambda A)f = \|h\|^2 f $이며, 여기서 $ h = Tf - \lambda Af $ 이고 $ \lambda = (Tf, Af)/(Af, Af) $이다.
• 만약 $ M_T(A) $가 어떤 벡터 $ f $에서 달성된다면, $ M_{T^*}(A^*) $는 정규화된 벡터 $ h/\|h\| $에서 달성되며, 이는 원 문제와 쌍대 문제 사이의 이중성 관계를 설정한다.
• 만약 최대화 수열의 약한 극한이 0이 아니면, 번역 가능 반경 $ M_T(A) $는 단위 벡터에서 달성된다; 그렇지 않다면, 이러한 모든 수열은 약한 수렴으로 0으로 수렴한다.
• 상한 $ M_T(A)^2 $는 $ g(A^*A) \neq 0 $인 모든 상태 $ g $에 대해 $ g(T^*T) - \frac{|g(A^*T)|^2}{g(A^*A)} $의 상한과 동일하며, 이는 Williams의 정리를 일반화한다.
• 만약 $ A = I $이면 결과는 Williams의 원래 정리로 축소되며, 고전적 경우와의 일致성을 확인한다.
• 번역 가능 반경은 $ \tilde{M}_T(A) \geq M_T(A) \geq m_T(A)/\|A^{-1}\| $를 만족하며, 여기서 $ m_T(A) $는 집합 $ \{ (Tf, Af)/(Af, Af) : \|f\|=1 \} $를 포함하는 가장 작은 원의 반경이다.