[논문 리뷰] Translation Groupoids and Orbifold Bredon Cohomology

Dorette Pronk, Laura Scull|arXiv (Cornell University)|2007. 05. 22.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 17인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 표현 가능한 오비폴드의 2-category와 양호한 사상들 사이의 등가성을, 오비폴드 이동 군oids의 2-category와 일반화된 에퀴바리언트 사상들 사이의 등가성과 설정함으로써, 에퀴바리언트 호모토피 이론의 결과를 오비폴드로 이행할 수 있도록 한다. 이는 모리타 등가성과 분수 2-category를 통해 군oids 표현의 비유일성을 해결함으로써, 오비폴드에 대한 에퀴바리언트 코homology 이론—특히 K-이론과 브레돈 코hom로지—를 정의하기 위한 프레임워크를 제시한다.

ABSTRACT

We show that the bicategory of (representable) orbifolds and good maps is equivalent to the bicategory of orbifold translation groupoids and generalized equivariant maps. We use this result to define an orbifold version of Bredon cohomology.

연구 동기 및 목표

• 표현 가능한 오비폴드에 대한 군oids 표현의 비유일성을 모리타 등가성을 통해 특성화함으로써 이를 해결하기 위해.
• 모든 표현 가능한 오비폴드 사이의 사상이 해당 오비폴드의 이동 군oids 사이의 에퀴바리언트 사상으로 표현될 수 있음을 보여, 에퀴바리언트 불변량의 함의성(functoriality)을 확보하기 위해.
• 이동 군oids와 오비폴드 사이의 등가성을 통해 에퀴바리언트 불변량을 가져와 오비폴드 코homology 이론—특히 K-이론과 브레돈 코호모로지—를 정의하기 위해.
• 일부 계수 다이어그램을 갖춘 브레돈 코호모로지가 군oids 표현의 선택에 관계없이 잘 정의된 불변량을 오비폴드에 제공함을 확립하기 위해.
• 분수 2-category 구성법을 통해 표현 가능한 오비폴드의 2-category(양호한 사상 포함)와 이동 군oids의 2-category(일반화된 에퀴바리언트 사상 포함) 사이의 등가성을 수립하기 위해.

제안 방법

• 유한군이 다양체 위에 작용하는 방식을 군oids의 작용 군oids로 표현함으로써 표현 가능한 오비폴드를 모델링하기 위해 이동 군oids를 사용한다.
• 기본 등가성에 의해 인식되는 사상들을 통해, 오비폴드의 구조와 호환되는 일반화된 에퀴바리언트 사상을 정의한다.
• 기본 등가성의 집합 W를 역전시키는 방식으로 분수 2-category $\mathsf{RepOrbifolds}_{\mathsf{eqvar}}(W^{-1})$를 구성함으로써, 이들을 내부 등가성으로 전환한다.
• 리만 군oids 사이의 기본 등가성이 2-for-3 성질을 만족함을 증명함으로써, 분수 2-category가 잘 정의되어 있음을 보장한다.
• 모든 기본 등가성이 두 가지 기본 유형의 복합체로 표현됨을 보여, 즉 (1) 전사 부분매장에 沿한 당김과 (2) 정규부군에 의한 몫을 통해 표현됨을 보임.
• 분수 2-category의 등가성 $\mathsf{RepOrbifolds}_{\mathsf{eqvar}}(W^{-1}) \simeq \mathsf{RepOrbifolds}_{\mathsf{atlas}}(W^{-1})$를 활용하여, 에퀴바리언트 불변량을 오비폴드 설정으로 이행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 표현 가능한 오비폴드 사이의 사상은 그에 해당하는 이동 군oids 사이의 에퀴바리언트 사상으로 표현될 수 있는가?
• RQ2 K-이론과 브레돈 코호모로지와 같은 에퀴바리언트 코호모로지 이론 중 어떤 것이 군oids 표현의 선택에 관계없이 오비폴드에 잘 정의된 불변량이 되는가?
• RQ3 오비폴드에 대한 군oids 표현의 비유일성을 체계적으로 묘사하고 통제함으로써, 코homological 불변량의 불변성을 확보할 수 있는가?
• RQ4 오비폴드의 2-category(양호한 사상 포함)와 이동 군oids의 2-category(일반화된 에퀴바리언트 사상 포함) 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ5 계수 다이어그램에 어떤 조건이 성립할 경우, 브레돈 코호모로지가 오비폴드에 대해 불변 이론을 제공할 수 있고, 단지 에퀴바리언트 공간에 대해서만 성립하는 것이 아닌가?

주요 결과

• 분수 2-category 구성법을 통해 표현 가능한 오비폴드의 2-category(양호한 사상 포함)와 이동 군oids의 2-category(일반화된 에퀴바리언트 사상 포함) 사이의 등가성이 성립한다.
• 모든 리만 군oids 사이의 기본 등가성은 두 가지 표준 유형의 복합체로 분해될 수 있다: (1) 전사 부분매장에 의한 당김과 (2) 정규부군에 의한 몫.
• 기본 등가성의 집합은 2-for-3 성질을 만족하며, 이는 분수 2-category가 잘 정의되어 있고 복합에 대해 닫혀 있음을 보장한다.
• G-에퀴바리언트 벡터 번들의 정의를 통해 정의된 위상적 K-이론은 잘 정의된 오비폴드 코호모로지 이론으로 내림내림되며, 다른 접근 방식과 독립적인 직접적 구성법을 제공한다.
• 모리타 등가성에 대해 불변인 계수 다이어그램을 갖춘 브레돈 코호모로지가 잘 정의된 오비폴드 불변량을 제공하며, 이는 에퀴바리언트 코호모로지 이론을 오비폴드 범주로 확장한다.
• 두 2-category 사이의 등가성 덕분에, 에퀴바리언트 호모토피 이론의 결과들이 오비폴드의 연구에 체계적으로 이행될 수 있으며, 특히 군 작용에 의해 정의된 코호모로지 이론에 대해 특히 그렇다.